Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto

Formelsamling för Sannolikhetsteori och statistik

69 formler ur SF1914/SF1915/SF1916, i kursens egen ordning. En formel utan sitt villkor är en gissning — därför står det utskrivet vad var och en kräver för att gälla.

Grundläggande sannolikhet och kombinatorik

Additionssatsen

Grundläggande sannolikhet →
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)
Vad gör formeln?
Sannolikheten för att minst en av två händelser inträffar, med överlappet avdraget så att det inte räknas dubbelt.
När får den användas?
Gäller alltid; för oförenliga händelser är den sista termen noll.

Enodas sammanfattning

Komplementhändelsen

Grundläggande sannolikhet →
P(Ac)=1−P(A)P(A^{c}) = 1 - P(A)
Vad gör formeln?
Sannolikheten för att en händelse inte inträffar är ett minus sannolikheten för att den inträffar.
När får den användas?
Gäller för varje händelse i ett och samma utfallsrum.

Enodas sammanfattning

Likformig sannolikhet

Grundläggande sannolikhet →
P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}
Vad gör formeln?
Vid lika sannolika utfall är sannolikheten antalet gynnsamma utfall delat med antalet möjliga.
När får den användas?
Kräver att samtliga utfall i utfallsrummet är lika sannolika.

Enodas sammanfattning

Permutationer

Grundläggande sannolikhet →
P(n,k)=n!(n−k)!P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}
Vad gör formeln?
Antalet sätt att ordna k element ur n när ordningen räknas som skillnad.
När får den användas?
Ordningen spelar roll och inget element väljs mer än en gång.

Enodas sammanfattning

Minst en av flera händelser

Grundläggande sannolikhet →
P(⋃iAi)=1−∏i(1−P(Ai))P\left(\bigcup_{i} A_i\right) = 1 - \prod_{i}\left(1 - P(A_i)\right)
Vad gör formeln?
Sannolikheten för att minst en av flera oberoende händelser inträffar, räknad via att ingen av dem gör det.
När får den användas?
Kräver att händelserna är oberoende; annars gäller bara komplementsteget.

Enodas sammanfattning

Betingad sannolikhet och oberoende

Betingad sannolikhet

Betingad sannolikhet och oberoende →
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Vad gör formeln?
Sannolikheten för en händelse när något redan är känt, normerad mot det krympta utfallsrummet.
När får den användas?
Kräver att den betingande händelsen har positiv sannolikhet.

Enodas sammanfattning

Multiplikationssatsen

Betingad sannolikhet och oberoende →
P(A∩B)=P(A∣B) P(B)P(A\cap B) = P(A\mid B)\,P(B)
Vad gör formeln?
Sannolikheten att båda händelserna inträffar, uppdelad i ett steg i taget.
När får den användas?
Kräver att den betingande händelsen har positiv sannolikhet; kan kedjas för fler händelser.

Enodas sammanfattning

Oberoende händelser

Betingad sannolikhet och oberoende →
P(A∩B)=P(A) P(B)P(A\cap B) = P(A)\,P(B)
Vad gör formeln?
Två händelser är oberoende precis när den ena inte ändrar sannolikheten för den andra.
När får den användas?
Definitionen av oberoende; oberoende är inte samma sak som oförenliga.

Enodas sammanfattning

Lagen om total sannolikhet

Betingad sannolikhet och oberoende →
P(B)=∑iP(B∣Ai) P(Ai)P(B) = \sum_{i} P(B\mid A_i)\,P(A_i)
Vad gör formeln?
Sannolikheten för en händelse räknad genom att dela upp utfallsrummet i fall och väga ihop dem.
När får den användas?
Händelserna A_i måste vara parvis oförenliga och tillsammans täcka hela utfallsrummet.

Enodas sammanfattning

Bayes sats

Betingad sannolikhet och oberoende →
P(Ai∣B)=P(B∣Ai) P(Ai)∑jP(B∣Aj) P(Aj)P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)\,P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)\,P(A_j)}
Vad gör formeln?
Vänder på betingningen och ger sannolikheten för orsaken när verkan är känd.
När får den användas?
Samma krav som lagen om total sannolikhet, och den betingande händelsen måste ha positiv sannolikhet.

Enodas sammanfattning

Diskreta stokastiska variabler

Binomialfördelningen

Diskreta fördelningar →
pX(k)=(nk)pk(1−p)n−k,E(X)=np,V(X)=np(1−p)p_X(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p)
Vad gör formeln?
Antalet lyckade utfall i n oberoende försök med samma sannolikhet p.
När får den användas?
k=0,1,…,n och 0<p<1.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Hypergeometriska fördelningen

Diskreta fördelningar →
P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn),E(X)=nKN,V(X)=N−nN−1nKN(1−KN)P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},\quad E(X)=n\frac{K}{N},\quad V(X)=\frac{N-n}{N-1}n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)
Vad gör formeln?
Urval utan återläggning ur en ändlig population.
När får den användas?
0≤k≤K, 0≤n-k≤N-K, samt N, K och n är heltal med N≥2, 0≤K≤N och 0≤n<N.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Kontinuerliga stokastiska variabler

Likformig fördelning

Kontinuerliga fördelningar →
fX(x)={1b−a,a<x<b0,annarsE(X)=a+b2,V(X)=(b−a)212f_X(x)=\begin{cases}\frac1{b-a},&a<x<b\\0,&\text{annars}\end{cases}\quad E(X)=\frac{a+b}{2},\quad V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}
Vad gör formeln?
Alla lägen i intervallet har samma täthet.
När får den användas?
a<b.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Exponentialfördelningen

Kontinuerliga fördelningar →
fX(x)={λe−λx,x>00,annarsE(X)=1λ,V(X)=1λ2f_X(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x>0\\0,&\text{annars}\end{cases}\quad E(X)=\frac1\lambda,\quad V(X)=\frac1{\lambda^2}
Vad gör formeln?
Modell för en positiv väntetid med konstant intensitet.
När får den användas?
λ>0.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Normalfördelningens täthet

Kontinuerliga fördelningar →
fX(x)=12πσ2e−(x−μ)22σ2,E(X)=μ,V(X)=σ2f_X(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad E(X)=\mu,\quad V(X)=\sigma^2
Vad gör formeln?
Tätheten för X som är N(μ,σ).
När får den användas?
-∞<x<∞ och σ>0.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Linjärkombination av normalfördelade variabler

Kontinuerliga fördelningar →
∑iaiXi+b a¨r normalfo¨rdelad\sum_i a_iX_i+b\ \text{är normalfördelad}
Vad gör formeln?
Normalfördelningen bevaras under linjärkombinationer av oberoende normalvariabler.
När får den användas?
Xᵢ är oberoende och normalfördelade.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Gammafördelningen

Kontinuerliga fördelningar →
fX(x)={λcΓ(c)xc−1e−λx,x>00,x≤0E(X)=cλ,V(X)=cλ2f_X(x)=\begin{cases}\frac{\lambda^c}{\Gamma(c)}x^{c-1}e^{-\lambda x},&x>0\\0,&x\le0\end{cases}\quad E(X)=\frac c\lambda,\quad V(X)=\frac c{\lambda^2}
Vad gör formeln?
Kontinuerlig positiv fördelning med formparameter c och intensitet λ.
När får den användas?
c>0 och λ>0; Γ(c)=∫₀^∞x^{c-1}e^{-x}dx.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Betafördelningen

Kontinuerliga fördelningar →
fX(x)={Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−1,0≤x≤10,annarsE(X)=αα+β,V(X)=αβ(α+β)2(α+β+1)f_X(x)=\begin{cases}\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},&0\le x\le1\\0,&\text{annars}\end{cases}\quad E(X)=\frac\alpha{\alpha+\beta},\quad V(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
Vad gör formeln?
Fördelning på intervallet [0,1] med två formparametrar.
När får den användas?
α>0 och β>0.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Flerdimensionella stokastiska variabler

Gränsvärdessatser och fördelningsapproximation

Centrala gränsvärdessatsen

Gränsvärdessatser och approximationer →
Yn=X1+⋯+Xn≈N(μn,σn)Y_n=X_1+\cdots+X_n\approx N(\mu n,\sigma\sqrt n)
Vad gör formeln?
Approximerar summan av många oberoende likafördelade variabler med en normalfördelning.
När får den användas?
X₁,…,Xₙ är oberoende och likafördelade med väntevärde μ och standardavvikelse σ>0, och n är stort.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Fördelningsapproximationer

Gränsvärdessatser och approximationer →
Hyp⁡(N,n,p)≈Bin⁡(n,p)om n/N≤0.1Bin⁡(n,p)≈Po⁡(np)om p≤0.1Bin⁡(n,p)≈N(np,np(1−p))om np(1−p)≥10Po⁡(μ)≈N(μ,μ)om μ≥15Gamma⁡(c,λ)≈N(c/λ,c/λ)om c≥20Beta⁡(α,β)≈N ⁣(αα+β,αβ(α+β)3/2)om α,β≥10\begin{aligned}\operatorname{Hyp}(N,n,p)&\approx\operatorname{Bin}(n,p)&&\text{om }n/N\le0.1\\\operatorname{Bin}(n,p)&\approx\operatorname{Po}(np)&&\text{om }p\le0.1\\\operatorname{Bin}(n,p)&\approx N(np,\sqrt{np(1-p)})&&\text{om }np(1-p)\ge10\\\operatorname{Po}(\mu)&\approx N(\mu,\sqrt\mu)&&\text{om }\mu\ge15\\\operatorname{Gamma}(c,\lambda)&\approx N(c/\lambda,\sqrt c/\lambda)&&\text{om }c\ge20\\\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)&\approx N\!\left(\frac\alpha{\alpha+\beta},\frac{\sqrt{\alpha\beta}}{(\alpha+\beta)^{3/2}}\right)&&\text{om }\alpha,\beta\ge10\end{aligned}
Vad gör formeln?
KTH:s samlade gränser för approximation mellan kursens standardfördelningar.
När får den användas?
Använd respektive rad endast när dess angivna villkor är uppfyllt.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Skattning

Stickprovsvarians

Statistiskt material och punktskattningar →
s2=1n−1∑j=1n(xj−xˉ)2=1n−1[∑j=1nxj2−1n(∑j=1nxj)2]s^2=\frac1{n-1}\sum_{j=1}^n(x_j-\bar x)^2=\frac1{n-1}\left[\sum_{j=1}^n x_j^2-\frac1n\left(\sum_{j=1}^n x_j\right)^2\right]
Vad gör formeln?
Väntevärdesriktig spridningsskattning med nämnaren n-1.
När får den användas?
n≥2.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Likelihood vid oberoende observationer

Statistiskt material och punktskattningar →
L(θ)={∏i=1npXi(xi;θ),diskret∏i=1nfXi(xi;θ),kontinuerligL(\theta)=\begin{cases}\prod_{i=1}^n p_{X_i}(x_i;\theta),&\text{diskret}\\\prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i;\theta),&\text{kontinuerlig}\end{cases}
Vad gör formeln?
ML-skattningen är det parametervärde som maximerar likelihoodfunktionen.
När får den användas?
X₁,…,Xₙ är oberoende och deras fördelningar beror på θ.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Viktad minsta-kvadrat

Statistiskt material och punktskattningar →
Q(θ1,…,θk)=∑i=1nwi(xi−μi(θ1,…,θk))2,wi=1σi2Q(\theta_1,\ldots,\theta_k)=\sum_{i=1}^n w_i\bigl(x_i-\mu_i(\theta_1,\ldots,\theta_k)\bigr)^2,\quad w_i=\frac1{\sigma_i^2}
Vad gör formeln?
MK-skattningarna minimerar den viktade kvadratsumman.
När får den användas?
Xᵢ är oberoende, E(Xᵢ)=μᵢ(θ₁,…,θₖ) och V(Xᵢ)=σᵢ².

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Minsta-kvadrat vid lika varians

Statistiskt material och punktskattningar →
Q(θ1,…,θk)=∑i=1n(xi−μi(θ1,…,θk))2Q(\theta_1,\ldots,\theta_k)=\sum_{i=1}^n\bigl(x_i-\mu_i(\theta_1,\ldots,\theta_k)\bigr)^2
Vad gör formeln?
När variansen är densamma sätts samtliga vikter till ett.
När får den användas?
σ₁²=σ₂²=⋯=σₙ² och X₁,…,Xₙ är oberoende.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Felfortplantning för en variabel

Statistiskt material och punktskattningar →
E(g(θ∗))≈g(θobs∗),D(g(θ∗))≈∣g′(θobs∗)∣D(θ∗)E(g(\theta^*))\approx g(\theta^*_{\mathrm{obs}}),\quad D(g(\theta^*))\approx|g'(\theta^*_{\mathrm{obs}})|D(\theta^*)
Vad gör formeln?
Approximerar väntevärde och standardavvikelse efter en icke-linjär transformation.
När får den användas?
g är deriverbar och approximationen är rimlig nära det observerade skattningsvärdet.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Felfortplantning för flera variabler

Statistiskt material och punktskattningar →
V(g(θ1∗,…,θn∗))≈∑i=1n∑j=1nC(θi∗,θj∗)[∂g∂xi∂g∂xj]xk=(θk)obs∗V(g(\theta_1^*,\ldots,\theta_n^*))\approx\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n C(\theta_i^*,\theta_j^*)\left[\frac{\partial g}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial x_j}\right]_{x_k=(\theta_k)^*_{\mathrm{obs}}}
Vad gör formeln?
Tar hänsyn till både varians och kovarians när flera skattningar kombineras.
När får den användas?
g är differentierbar och kovarianserna för skattningarna är kända eller skattade.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Konfidensintervall och hypotesprövning

Ett normalfördelat stickprov

Stickprovsvariablernas fördelningar →
Xˉ∼N ⁣(μ,σn)(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)Xˉ−μS/n∼t(n−1),Xˉ⊥S2\begin{aligned}\bar X&\sim N\!\left(\mu,\frac\sigma{\sqrt n}\right)\\\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}&\sim\chi^2(n-1)\\\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}&\sim t(n-1),\qquad \bar X\perp S^2\end{aligned}
Vad gör formeln?
De centrala stickprovsfördelningarna för ett normalfördelat stickprov.
När får den användas?
X₁,…,Xₙ är oberoende N(μ,σ).

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Två normalfördelade stickprov med samma varians

Stickprovsvariablernas fördelningar →
Xˉ−Yˉ∼N ⁣(μ1−μ2,σ1n1+1n2)(n1+n2−2)S2σ2∼χ2(n1+n2−2)Xˉ−Yˉ−(μ1−μ2)S1/n1+1/n2∼t(n1+n2−2)\begin{aligned}\bar X-\bar Y&\sim N\!\left(\mu_1-\mu_2,\sigma\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}\right)\\\frac{(n_1+n_2-2)S^2}{\sigma^2}&\sim\chi^2(n_1+n_2-2)\\\frac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)}{S\sqrt{1/n_1+1/n_2}}&\sim t(n_1+n_2-2)\end{aligned}
Vad gör formeln?
Fördelningarna för differensen mellan två medelvärden när variansen är gemensam.
När får den användas?
Stickproven är oberoende och normalfördelade med gemensam standardavvikelse σ.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Två normalfördelade stickprov med olika varians

Stickprovsvariablernas fördelningar →
Xˉ−Yˉ∼N ⁣(μ1−μ2,σ12n1+σ22n2)\bar X-\bar Y\sim N\!\left(\mu_1-\mu_2,\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right)
Vad gör formeln?
Differensen mellan medelvärden när populationernas varianser får vara olika.
När får den användas?
Stickproven är oberoende; Xᵢ är N(μ₁,σ₁) och Yᵢ är N(μ₂,σ₂).

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

t-metoden

Konfidensintervall →
θobs∗±Dobs∗tα/2(f)\theta^*_{\mathrm{obs}}\pm D^*_{\mathrm{obs}}t_{\alpha/2}(f)
Vad gör formeln?
Konfidensintervall för θ med konfidensgraden 1-α när skalan skattas.
När får den användas?
(θ*-θ)/D* är t(f), och D* skattar den okända D som inte beror på θ.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Approximativa metoden

Konfidensintervall →
θobs∗±Dobs∗λα/2\theta^*_{\mathrm{obs}}\pm D^*_{\mathrm{obs}}\lambda_{\alpha/2}
Vad gör formeln?
Ger ett approximativt konfidensintervall med konfidensgraden 1-α.
När får den användas?
θ* är approximativt N(θ,D) och D*obs är en lämplig skattning av D.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

χ²-baserat konfidensintervall

Konfidensintervall →
(θobs∗fχα/22(f), θobs∗fχ1−α/22(f))\left(\theta^*_{\mathrm{obs}}\sqrt{\frac f{\chi^2_{\alpha/2}(f)}},\ \theta^*_{\mathrm{obs}}\sqrt{\frac f{\chi^2_{1-\alpha/2}(f)}}\right)
Vad gör formeln?
Konfidensintervall för en positiv skalparameter med konfidensgraden 1-α.
När får den användas?
f(θ*/θ)² är χ²(f).

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Chi-två-test och linjär regression

Regressionslutning

Linjär regression →
β∗=∑i=1n(xi−xˉ)(Yi−Yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∼N ⁣(β,σ∑i=1n(xi−xˉ)2)\beta^*=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(Y_i-\bar Y)}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}\sim N\!\left(\beta,\frac\sigma{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}}\right)
Vad gör formeln?
Minsta-kvadratskattningen och dess fördelning för regressionslinjens lutning.
När får den användas?
Yᵢ är oberoende N(α+βxᵢ,σ).

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Regressionsintercept

Linjär regression →
α∗=Yˉ−β∗xˉ∼N ⁣(α,σ1n+xˉ2∑i=1n(xi−xˉ)2)\alpha^*=\bar Y-\beta^*\bar x\sim N\!\left(\alpha,\sigma\sqrt{\frac1n+\frac{\bar x^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}}\right)
Vad gör formeln?
Skattningen och dess fördelning för regressionslinjens intercept.
När får den användas?
Yᵢ är oberoende N(α+βxᵢ,σ).

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Skattat regressionsmedelvärde

Linjär regression →
α∗+β∗x0∼N ⁣(α+βx0,σ1n+(x0−xˉ)2∑i=1n(xi−xˉ)2)\alpha^*+\beta^*x_0\sim N\!\left(\alpha+\beta x_0,\sigma\sqrt{\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}}\right)
Vad gör formeln?
Fördelningen för det skattade förväntade svaret vid x₀.
När får den användas?
Yᵢ är oberoende N(α+βxᵢ,σ).

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Regressionens residualvarians

Linjär regression →
S2=1n−2∑i=1n(Yi−α∗−β∗xi)2,(n−2)S2σ2∼χ2(n−2)S^2=\frac1{n-2}\sum_{i=1}^n(Y_i-\alpha^*-\beta^*x_i)^2,\quad\frac{(n-2)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-2)
Vad gör formeln?
Skattar modellens varians från residualerna med n-2 frihetsgrader.
När får den användas?
Yᵢ är oberoende N(α+βxᵢ,σ).

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Konfidensintervall i linjär regression

Linjär regression →
Iα: αobs∗±tp/2(n−2)s1n+xˉ2SxxIβ: βobs∗±tp/2(n−2)sSxxIα+βx0: αobs∗+βobs∗x0±tp/2(n−2)s1n+(x0−xˉ)2Sxx\begin{aligned}I_\alpha&:\ \alpha^*_{\mathrm{obs}}\pm t_{p/2}(n-2)s\sqrt{\frac1n+\frac{\bar x^2}{S_{xx}}}\\I_\beta&:\ \beta^*_{\mathrm{obs}}\pm t_{p/2}(n-2)\frac s{\sqrt{S_{xx}}}\\I_{\alpha+\beta x_0}&:\ \alpha^*_{\mathrm{obs}}+\beta^*_{\mathrm{obs}}x_0\pm t_{p/2}(n-2)s\sqrt{\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}\end{aligned}
Vad gör formeln?
Intervall för intercept, lutning och regressionsmedelvärde.
När får den användas?
Den enkla normalfördelade regressionsmodellen gäller och s skattar σ.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Regressionens beräkningssummor

Linjär regression →
Sxy=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)=∑i=1nxiyi−nxˉyˉSxx=∑i=1n(xi−xˉ)2=∑i=1nxi2−nxˉ2Syy=∑i=1n(yi−yˉ)2\begin{aligned}S_{xy}&=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\bar x\bar y\\S_{xx}&=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2=\sum_{i=1}^n x_i^2-n\bar x^2\\S_{yy}&=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2\end{aligned}
Vad gör formeln?
Beräkningsformler för de centrerade kvadratsummorna.
När får den användas?
Observationerna (xᵢ,yᵢ) är givna.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Regressionens minsta kvadratsumma

Linjär regression →
(n−2)s2=Syy−Sxy2Sxx=Syy−2βobs∗Sxy+(βobs∗)2Sxx=min⁡α,β∑i=1n(yi−α−βxi)2(n-2)s^2=S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=S_{yy}-2\beta^*_{\mathrm{obs}}S_{xy}+(\beta^*_{\mathrm{obs}})^2S_{xx}=\min_{\alpha,\beta}\sum_{i=1}^n(y_i-\alpha-\beta x_i)^2
Vad gör formeln?
Likvärdiga uttryck för residualkvadratsumman i enkel linjär regression.
När får den användas?
Sxx>0.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Styrkefunktion

Hypotesprövning och χ²-test →
h(θ)=P(fo¨rkasta H0∣θ a¨r ra¨tt parameterva¨rde)h(\theta)=P(\text{förkasta }H_0\mid\theta\text{ är rätt parametervärde})
Vad gör formeln?
Sannolikheten att testet förkastar H₀ som funktion av det sanna parametervärdet.
När får den användas?
Testregel och parametermodell är specificerade.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Konfidensmetoden för hypotesprövning

Hypotesprövning och χ²-test →
Fo¨rkasta H0:θ=θ0 pa˚ niva˚n α om θ0∉I1−α\text{Förkasta }H_0:\theta=\theta_0\text{ på nivån }\alpha\text{ om }\theta_0\notin I_{1-\alpha}
Vad gör formeln?
Kopplar ett tvåsidigt hypottest till motsvarande konfidensintervall.
När får den användas?
I₁₋α är ett lämpligt valt konfidensintervall för θ.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

χ²-test av given fördelning

Hypotesprövning och χ²-test →
Q=∑j=1r(xj−npj)2npj≈χ2(r−1)Q=\sum_{j=1}^r\frac{(x_j-np_j)^2}{np_j}\approx\chi^2(r-1)
Vad gör formeln?
Jämför observerade och förväntade frekvenser mot en helt specificerad fördelning.
När får den användas?
H₀ anger p₁,…,pᵣ och npⱼ≥5 för j=1,…,r.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

χ²-test med skattade parametrar

Hypotesprövning och χ²-test →
Q′=∑j=1r(xj−npj(θobs∗))2npj(θobs∗)≈χ2(r−k−1)Q'=\sum_{j=1}^r\frac{(x_j-np_j(\theta^*_{\mathrm{obs}}))^2}{np_j(\theta^*_{\mathrm{obs}})}\approx\chi^2(r-k-1)
Vad gör formeln?
Frihetsgraderna minskas när sannolikheter skattas från samma data.
När får den användas?
k parametrar skattas ur data och de förväntade frekvenserna uppfyller approximationsvillkoren.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Homogenitetstest

Hypotesprövning och χ²-test →
Q=∑i=1s∑j=1r(xij−nimjN)2nimjN≈χ2((r−1)(s−1))Q=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^r\frac{\left(x_{ij}-\frac{n_im_j}{N}\right)^2}{\frac{n_im_j}{N}}\approx\chi^2((r-1)(s-1))
Vad gör formeln?
Testar om utfallssannolikheterna är desamma i flera försöksserier.
När får den användas?
nᵢmⱼ/N≥5 för alla i=1,…,s och j=1,…,r.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Oberoendetest

Hypotesprövning och χ²-test →
Q=∑i=1s∑j=1r(xij−nimjN)2nimjN≈χ2((r−1)(s−1))Q=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^r\frac{\left(x_{ij}-\frac{n_im_j}{N}\right)^2}{\frac{n_im_j}{N}}\approx\chi^2((r-1)(s-1))
Vad gör formeln?
Samma teststorhet som homogenitetstestet används för att testa oberoende mellan två kategorivariabler.
När får den användas?
nᵢmⱼ/N≥5 för alla celler i korstabellen.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Bayesiansk inferens

Posteriorfördelning

Bayesiansk inferens →
fΘ∣X(θ∣x)=fX∣Θ(x∣θ)fΘ(θ)fX(x)f_{\Theta\mid X}(\theta\mid x)=\frac{f_{X\mid\Theta}(x\mid\theta)f_\Theta(\theta)}{f_X(x)}
Vad gör formeln?
Bayes sats uttryckt för en parameter och observerad data.
När får den användas?
En prior fΘ och en datamodell fX|Θ är specificerade.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Aprioriprediktiv fördelning, kontinuerlig parameter

Bayesiansk inferens →
fX(x)=∫ΩθfX∣Θ(x∣θ)fΘ(θ) dθf_X(x)=\int_{\Omega_\theta}f_{X\mid\Theta}(x\mid\theta)f_\Theta(\theta)\,d\theta
Vad gör formeln?
Integrerar bort parametern ur den gemensamma modellen.
När får den användas?
Θ är kontinuerlig.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Aprioriprediktiv fördelning, diskret parameter

Bayesiansk inferens →
fX(x)=∑ΩθfX∣Θ(x∣θ)fΘ(θ)f_X(x)=\sum_{\Omega_\theta}f_{X\mid\Theta}(x\mid\theta)f_\Theta(\theta)
Vad gör formeln?
Summerar bort parametern ur den gemensamma modellen.
När får den användas?
Θ är diskret.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Beta-binomial-uppdatering

Bayesiansk inferens →
Θ∣X1=x1,…,Xk=xk∼Beta⁡ ⁣(α+∑i=1kxi,β+∑i=1k(ni−xi))\Theta\mid X_1=x_1,\ldots,X_k=x_k\sim\operatorname{Beta}\!\left(\alpha+\sum_{i=1}^k x_i,\beta+\sum_{i=1}^k(n_i-x_i)\right)
Vad gör formeln?
Uppdaterar beta-priorens två formparametrar med framgångar och misslyckanden.
När får den användas?
Θ∼Beta(α,β) och Xᵢ|Θ=θ∼Bin(nᵢ,θ), betingat oberoende.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Normal-normal-uppdatering

Bayesiansk inferens →
Θ∣X=x∼N ⁣(μ0/τ02+∑i=1kxi/σ21/τ02+k/σ2,11/τ02+k/σ2)\Theta\mid\boldsymbol X=\boldsymbol x\sim N\!\left(\frac{\mu_0/\tau_0^2+\sum_{i=1}^k x_i/\sigma^2}{1/\tau_0^2+k/\sigma^2},\frac1{\sqrt{1/\tau_0^2+k/\sigma^2}}\right)
Vad gör formeln?
Posteriorens precision är summan av priorns och observationernas precisioner.
När får den användas?
Θ∼N(μ₀,τ₀) och Xᵢ|Θ=θ∼N(θ,σ), betingat oberoende.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Gamma-poisson-uppdatering

Bayesiansk inferens →
Θ∣X=x∼Gamma⁡ ⁣(c+∑i=1kxi,λ+k)\Theta\mid\boldsymbol X=\boldsymbol x\sim\operatorname{Gamma}\!\left(c+\sum_{i=1}^k x_i,\lambda+k\right)
Vad gör formeln?
Uppdaterar gamma-prioren med det totala antalet händelser och antalet observationer.
När får den användas?
Θ∼Gamma(c,λ) och Xᵢ|Θ=θ∼Po(θ), betingat oberoende.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025

Gamma-exponential-uppdatering

Bayesiansk inferens →
Θ∣X=x∼Gamma⁡ ⁣(c+k,λ+∑i=1kxi)\Theta\mid\boldsymbol X=\boldsymbol x\sim\operatorname{Gamma}\!\left(c+k,\lambda+\sum_{i=1}^k x_i\right)
Vad gör formeln?
Uppdaterar gamma-prioren med stickprovsstorleken och den sammanlagda väntetiden.
När får den användas?
Θ∼Gamma(c,λ) och Xᵢ|Θ=θ∼Exp(θ), betingat oberoende.

Ur KTH Formelsamling i matematisk statistik, april 2025