4. Kontinuerliga stokastiska variabler

Kontinuerliga fördelningar

Tätheter, väntevärden och varianser för kursens kontinuerliga standardfördelningar.

Översikt

Kontinuerliga fördelningar

KTH:s officiella formelsamling för SF1914, SF1915 och SF1916 samlar 8 sökbara formler under detta moment. Formler och villkor följer aprilutgåvan 2025; användningssteg och jämförelser är Enodas studiestöd.

Exempel

Källformel: Betafördelningen

Den här formeln är direkt transkriberad från den KTH-formelsamling som Canvas anger för SF1914, SF1915 och SF1916.

$f_X(x)=\begin{cases}\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},&0\le x\le1\\0,&\text{annars}\end{cases}\quad E(X)=\frac\alpha{\alpha+\beta},\quad V(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

Fördjupning

Villkor och användning

Börja med att välja modell och kontrollera villkoren i KTH-källan. Matcha därefter parametrar och observationer mot formelns symboler. Enodas användningssteg är studiestöd och inte en del av originaldokumentet.

Formler i området

Likformig fördelning

f_X(x)=\begin{cases}\frac1{b-a},&a<x<b\\0,&\text{annars}\end{cases}\quad E(X)=\frac{a+b}{2},\quad V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}

Vad gör formeln?: Alla lägen i intervallet har samma täthet.
När får den användas?: a<b.

Exponentialfördelningen

f_X(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x>0\\0,&\text{annars}\end{cases}\quad E(X)=\frac1\lambda,\quad V(X)=\frac1{\lambda^2}

Vad gör formeln?: Modell för en positiv väntetid med konstant intensitet.
När får den användas?: λ>0.

Normalfördelningens täthet

f_X(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad E(X)=\mu,\quad V(X)=\sigma^2

Vad gör formeln?: Tätheten för X som är N(μ,σ).
När får den användas?: -∞<x<∞ och σ>0.

Standardisering av normalfördelning

X\sim N(\mu,\sigma)\iff\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)

Vad gör formeln?: Översätter en normalfördelad variabel till standardnormalfördelningen.
När får den användas?: σ>0.

Standardnormalfördelningens täthet

\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\quad -\infty<x<\infty

Vad gör formeln?: Tätheten som hör ihop med fördelningsfunktionen Φ.
När får den användas?: Z är N(0,1).

Linjärkombination av normalfördelade variabler

\sum_i a_iX_i+b\ \text{är normalfördelad}

Vad gör formeln?: Normalfördelningen bevaras under linjärkombinationer av oberoende normalvariabler.
När får den användas?: Xᵢ är oberoende och normalfördelade.

Gammafördelningen

f_X(x)=\begin{cases}\frac{\lambda^c}{\Gamma(c)}x^{c-1}e^{-\lambda x},&x>0\\0,&x\le0\end{cases}\quad E(X)=\frac c\lambda,\quad V(X)=\frac c{\lambda^2}

Vad gör formeln?: Kontinuerlig positiv fördelning med formparameter c och intensitet λ.
När får den användas?: c>0 och λ>0; Γ(c)=∫₀^∞x^{c-1}e^{-x}dx.

Betafördelningen

f_X(x)=\begin{cases}\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},&0\le x\le1\\0,&\text{annars}\end{cases}\quad E(X)=\frac\alpha{\alpha+\beta},\quad V(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}

Vad gör formeln?: Fördelning på intervallet [0,1] med två formparametrar.
När får den användas?: α>0 och β>0.

Kan du använda kontinuerliga fördelningar?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift