1. Grundläggande sannolikhet och kombinatorik

Grundläggande sannolikhet

Räknereglerna för händelser och sannolikheter. De står inte i KTH:s formelsamling utan förutsätts kunnas utantill.

Översikt

Kärnan i sannolikhetsläran

Sannolikheten för att minst en av två händelser inträffar är summan av deras sannolikheter minus överlappet, som annars räknas två gånger.

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$

Exempel

Metod och kontroll

Är den sökta händelsen svår att räkna direkt är komplementet ofta enkelt. Uttryck som innehåller minst en är nästan alltid enklare den vägen.

$P(A^{c}) = 1 - P(A)$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Formlerna i det här avsnittet står inte i KTH:s formelsamling. Den börjar med kombinatorik och går direkt vidare till stokastiska variabler, så räknereglerna för händelser måste sitta i huvudet på skrivningen. Att addera sannolikheter utan att dra bort överlappet är det vanligaste felet, och det försvinner först när händelserna verkligen är oförenliga.

Formler i området

Additionssatsen

P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

Vad gör formeln?: Sannolikheten för att minst en av två händelser inträffar, med överlappet avdraget så att det inte räknas dubbelt.
När får den användas?: Gäller alltid; för oförenliga händelser är den sista termen noll.

Komplementhändelsen

P(A^{c}) = 1 - P(A)

Vad gör formeln?: Sannolikheten för att en händelse inte inträffar är ett minus sannolikheten för att den inträffar.
När får den användas?: Gäller för varje händelse i ett och samma utfallsrum.

Likformig sannolikhet

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Vad gör formeln?: Vid lika sannolika utfall är sannolikheten antalet gynnsamma utfall delat med antalet möjliga.
När får den användas?: Kräver att samtliga utfall i utfallsrummet är lika sannolika.

Permutationer

P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}

Vad gör formeln?: Antalet sätt att ordna k element ur n när ordningen räknas som skillnad.
När får den användas?: Ordningen spelar roll och inget element väljs mer än en gång.

Minst en av flera händelser

P\left(\bigcup_{i} A_i\right) = 1 - \prod_{i}\left(1 - P(A_i)\right)

Vad gör formeln?: Sannolikheten för att minst en av flera oberoende händelser inträffar, räknad via att ingen av dem gör det.
När får den användas?: Kräver att händelserna är oberoende; annars gäller bara komplementsteget.

Kan du använda grundläggande sannolikhet?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift