Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
9. Chi-två-test och linjär regression

Linjär regression

Skattningar, fördelningar, konfidensintervall och beräkningsformler för enkel linjär regression.

Översikt

Linjär regression

KTH:s officiella formelsamling för SF1914, SF1915 och SF1916 samlar 7 sökbara formler under detta moment. Formler och villkor följer aprilutgåvan 2025; användningssteg och jämförelser är Enodas studiestöd.

Exempel

Källformel: Regressionens beräkningssummor

Den här formeln är direkt transkriberad från den KTH-formelsamling som Canvas anger för SF1914, SF1915 och SF1916.

Sxy=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)=∑i=1nxiyi−nxˉyˉSxx=∑i=1n(xi−xˉ)2=∑i=1nxi2−nxˉ2Syy=∑i=1n(yi−yˉ)2\begin{aligned}S_{xy}&=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\bar x\bar y\\S_{xx}&=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2=\sum_{i=1}^n x_i^2-n\bar x^2\\S_{yy}&=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2\end{aligned}

Fördjupning

Villkor och användning

Börja med att välja modell och kontrollera villkoren i KTH-källan. Matcha därefter parametrar och observationer mot formelns symboler. Enodas användningssteg är studiestöd och inte en del av originaldokumentet.

Formler i området

Regressionslutning

β∗=∑i=1n(xi−xˉ)(Yi−Yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∼N ⁣(β,σ∑i=1n(xi−xˉ)2)\beta^*=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(Y_i-\bar Y)}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}\sim N\!\left(\beta,\frac\sigma{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}}\right)
Vad gör formeln?
Minsta-kvadratskattningen och dess fördelning för regressionslinjens lutning.
När får den användas?
Yᵢ är oberoende N(α+βxᵢ,σ).

Regressionsintercept

α∗=Yˉ−β∗xˉ∼N ⁣(α,σ1n+xˉ2∑i=1n(xi−xˉ)2)\alpha^*=\bar Y-\beta^*\bar x\sim N\!\left(\alpha,\sigma\sqrt{\frac1n+\frac{\bar x^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}}\right)
Vad gör formeln?
Skattningen och dess fördelning för regressionslinjens intercept.
När får den användas?
Yᵢ är oberoende N(α+βxᵢ,σ).

Skattat regressionsmedelvärde

α∗+β∗x0∼N ⁣(α+βx0,σ1n+(x0−xˉ)2∑i=1n(xi−xˉ)2)\alpha^*+\beta^*x_0\sim N\!\left(\alpha+\beta x_0,\sigma\sqrt{\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}}\right)
Vad gör formeln?
Fördelningen för det skattade förväntade svaret vid x₀.
När får den användas?
Yᵢ är oberoende N(α+βxᵢ,σ).

Regressionens residualvarians

S2=1n−2∑i=1n(Yi−α∗−β∗xi)2,(n−2)S2σ2∼χ2(n−2)S^2=\frac1{n-2}\sum_{i=1}^n(Y_i-\alpha^*-\beta^*x_i)^2,\quad\frac{(n-2)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-2)
Vad gör formeln?
Skattar modellens varians från residualerna med n-2 frihetsgrader.
När får den användas?
Yᵢ är oberoende N(α+βxᵢ,σ).

Konfidensintervall i linjär regression

Iα: αobs∗±tp/2(n−2)s1n+xˉ2SxxIβ: βobs∗±tp/2(n−2)sSxxIα+βx0: αobs∗+βobs∗x0±tp/2(n−2)s1n+(x0−xˉ)2Sxx\begin{aligned}I_\alpha&:\ \alpha^*_{\mathrm{obs}}\pm t_{p/2}(n-2)s\sqrt{\frac1n+\frac{\bar x^2}{S_{xx}}}\\I_\beta&:\ \beta^*_{\mathrm{obs}}\pm t_{p/2}(n-2)\frac s{\sqrt{S_{xx}}}\\I_{\alpha+\beta x_0}&:\ \alpha^*_{\mathrm{obs}}+\beta^*_{\mathrm{obs}}x_0\pm t_{p/2}(n-2)s\sqrt{\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}\end{aligned}
Vad gör formeln?
Intervall för intercept, lutning och regressionsmedelvärde.
När får den användas?
Den enkla normalfördelade regressionsmodellen gäller och s skattar σ.

Regressionens beräkningssummor

Sxy=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)=∑i=1nxiyi−nxˉyˉSxx=∑i=1n(xi−xˉ)2=∑i=1nxi2−nxˉ2Syy=∑i=1n(yi−yˉ)2\begin{aligned}S_{xy}&=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\bar x\bar y\\S_{xx}&=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2=\sum_{i=1}^n x_i^2-n\bar x^2\\S_{yy}&=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2\end{aligned}
Vad gör formeln?
Beräkningsformler för de centrerade kvadratsummorna.
När får den användas?
Observationerna (xᵢ,yᵢ) är givna.

Regressionens minsta kvadratsumma

(n−2)s2=Syy−Sxy2Sxx=Syy−2βobs∗Sxy+(βobs∗)2Sxx=min⁡α,β∑i=1n(yi−α−βxi)2(n-2)s^2=S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=S_{yy}-2\beta^*_{\mathrm{obs}}S_{xy}+(\beta^*_{\mathrm{obs}})^2S_{xx}=\min_{\alpha,\beta}\sum_{i=1}^n(y_i-\alpha-\beta x_i)^2
Vad gör formeln?
Likvärdiga uttryck för residualkvadratsumman i enkel linjär regression.
När får den användas?
Sxx>0.

Kan du använda linjär regression?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift