7. Skattning

Statistiskt material och punktskattningar

Stickprovsmedelvärde, stickprovsvarians, ML, minsta kvadrat och felfortplantning.

Översikt

Statistiskt material och punktskattningar

KTH:s officiella formelsamling för SF1914, SF1915 och SF1916 samlar 8 sökbara formler under detta moment. Formler och villkor följer aprilutgåvan 2025; användningssteg och jämförelser är Enodas studiestöd.

Exempel

Källformel: Felfortplantning för en variabel

Den här formeln är direkt transkriberad från den KTH-formelsamling som Canvas anger för SF1914, SF1915 och SF1916.

$E(g(\theta^*))\approx g(\theta^*_{\mathrm{obs}}),\quad D(g(\theta^*))\approx|g'(\theta^*_{\mathrm{obs}})|D(\theta^*)$

Fördjupning

Villkor och användning

Börja med att välja modell och kontrollera villkoren i KTH-källan. Matcha därefter parametrar och observationer mot formelns symboler. Enodas användningssteg är studiestöd och inte en del av originaldokumentet.

Formler i området

Stickprovsmedelvärde

\bar x=\frac1n\sum_{j=1}^n x_j

Vad gör formeln?: Medelvärdet av observationerna i stickprovet.
När får den användas?: n≥1.

Stickprovsvarians

s^2=\frac1{n-1}\sum_{j=1}^n(x_j-\bar x)^2=\frac1{n-1}\left[\sum_{j=1}^n x_j^2-\frac1n\left(\sum_{j=1}^n x_j\right)^2\right]

Vad gör formeln?: Väntevärdesriktig spridningsskattning med nämnaren n-1.
När får den användas?: n≥2.

Likelihood vid oberoende observationer

L(\theta)=\begin{cases}\prod_{i=1}^n p_{X_i}(x_i;\theta),&\text{diskret}\\\prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i;\theta),&\text{kontinuerlig}\end{cases}

Vad gör formeln?: ML-skattningen är det parametervärde som maximerar likelihoodfunktionen.
När får den användas?: X₁,…,Xₙ är oberoende och deras fördelningar beror på θ.

Viktad minsta-kvadrat

Q(\theta_1,\ldots,\theta_k)=\sum_{i=1}^n w_i\bigl(x_i-\mu_i(\theta_1,\ldots,\theta_k)\bigr)^2,\quad w_i=\frac1{\sigma_i^2}

Vad gör formeln?: MK-skattningarna minimerar den viktade kvadratsumman.
När får den användas?: Xᵢ är oberoende, E(Xᵢ)=μᵢ(θ₁,…,θₖ) och V(Xᵢ)=σᵢ².

Minsta-kvadrat vid lika varians

Q(\theta_1,\ldots,\theta_k)=\sum_{i=1}^n\bigl(x_i-\mu_i(\theta_1,\ldots,\theta_k)\bigr)^2

Vad gör formeln?: När variansen är densamma sätts samtliga vikter till ett.
När får den användas?: σ₁²=σ₂²=⋯=σₙ² och X₁,…,Xₙ är oberoende.

Medelfel

d(\theta^*)=\widehat{D(\theta^*)}

Vad gör formeln?: En skattning av standardavvikelsen D(θ*) för en punktskattning.
När får den användas?: D(θ*) kan skattas från data.

Felfortplantning för en variabel

E(g(\theta^*))\approx g(\theta^*_{\mathrm{obs}}),\quad D(g(\theta^*))\approx|g'(\theta^*_{\mathrm{obs}})|D(\theta^*)

Vad gör formeln?: Approximerar väntevärde och standardavvikelse efter en icke-linjär transformation.
När får den användas?: g är deriverbar och approximationen är rimlig nära det observerade skattningsvärdet.

Felfortplantning för flera variabler

V(g(\theta_1^*,\ldots,\theta_n^*))\approx\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n C(\theta_i^*,\theta_j^*)\left[\frac{\partial g}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial x_j}\right]_{x_k=(\theta_k)^*_{\mathrm{obs}}}

Vad gör formeln?: Tar hänsyn till både varians och kovarians när flera skattningar kombineras.
När får den användas?: g är differentierbar och kovarianserna för skattningarna är kända eller skattade.

Kan du använda statistiskt material och punktskattningar?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift