8. Konfidensintervall och hypotesprövning

Stickprovsvariablernas fördelningar

χ²- och t-fördelningar samt normalfördelade stickprov.

Översikt

Stickprovsvariablernas fördelningar

KTH:s officiella formelsamling för SF1914, SF1915 och SF1916 samlar 6 sökbara formler under detta moment. Formler och villkor följer aprilutgåvan 2025; användningssteg och jämförelser är Enodas studiestöd.

Exempel

Källformel: χ²-fördelningen

Den här formeln är direkt transkriberad från den KTH-formelsamling som Canvas anger för SF1914, SF1915 och SF1916.

$\sum_{k=1}^f X_k^2\sim\chi^2(f)$

Fördjupning

Villkor och användning

Börja med att välja modell och kontrollera villkoren i KTH-källan. Matcha därefter parametrar och observationer mot formelns symboler. Enodas användningssteg är studiestöd och inte en del av originaldokumentet.

Formler i området

χ²-fördelningen

\sum_{k=1}^f X_k^2\sim\chi^2(f)

Vad gör formeln?: Summan av kvadrerade oberoende standardnormalvariabler.
När får den användas?: X₁,…,X_f är oberoende N(0,1).

t-fördelningen

\frac{X}{\sqrt{Y/f}}\sim t(f)

Vad gör formeln?: Standardnormal variabel dividerad med en oberoende skattad skala.
När får den användas?: X är N(0,1), Y är χ²(f), och X och Y är oberoende.

Ett normalfördelat stickprov

\begin{aligned}\bar X&\sim N\!\left(\mu,\frac\sigma{\sqrt n}\right)\\\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}&\sim\chi^2(n-1)\\\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}&\sim t(n-1),\qquad \bar X\perp S^2\end{aligned}

Vad gör formeln?: De centrala stickprovsfördelningarna för ett normalfördelat stickprov.
När får den användas?: X₁,…,Xₙ är oberoende N(μ,σ).

Två normalfördelade stickprov med samma varians

\begin{aligned}\bar X-\bar Y&\sim N\!\left(\mu_1-\mu_2,\sigma\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}\right)\\\frac{(n_1+n_2-2)S^2}{\sigma^2}&\sim\chi^2(n_1+n_2-2)\\\frac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)}{S\sqrt{1/n_1+1/n_2}}&\sim t(n_1+n_2-2)\end{aligned}

Vad gör formeln?: Fördelningarna för differensen mellan två medelvärden när variansen är gemensam.
När får den användas?: Stickproven är oberoende och normalfördelade med gemensam standardavvikelse σ.

Poolad stickprovsvarians

S^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}

Vad gör formeln?: Väger samman de två stickprovsvarianserna efter deras frihetsgrader.
När får den användas?: Två oberoende normalfördelade stickprov antas ha samma varians.

Två normalfördelade stickprov med olika varians

\bar X-\bar Y\sim N\!\left(\mu_1-\mu_2,\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right)

Vad gör formeln?: Differensen mellan medelvärden när populationernas varianser får vara olika.
När får den användas?: Stickproven är oberoende; Xᵢ är N(μ₁,σ₁) och Yᵢ är N(μ₂,σ₂).

Kan du använda stickprovsvariablernas fördelningar?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift