6. Gränsvärdessatser och fördelningsapproximation

Gränsvärdessatser och approximationer

Normalapproximationer, centrala gränsvärdessatsen och Tjebysjovs olikhet.

Översikt

Gränsvärdessatser och approximationer

KTH:s officiella formelsamling för SF1914, SF1915 och SF1916 samlar 3 sökbara formler under detta moment. Formler och villkor följer aprilutgåvan 2025; användningssteg och jämförelser är Enodas studiestöd.

Exempel

Källformel: Centrala gränsvärdessatsen

Den här formeln är direkt transkriberad från den KTH-formelsamling som Canvas anger för SF1914, SF1915 och SF1916.

$Y_n=X_1+\cdots+X_n\approx N(\mu n,\sigma\sqrt n)$

Fördjupning

Villkor och användning

Börja med att välja modell och kontrollera villkoren i KTH-källan. Matcha därefter parametrar och observationer mot formelns symboler. Enodas användningssteg är studiestöd och inte en del av originaldokumentet.

Formler i området

Centrala gränsvärdessatsen

Y_n=X_1+\cdots+X_n\approx N(\mu n,\sigma\sqrt n)

Vad gör formeln?: Approximerar summan av många oberoende likafördelade variabler med en normalfördelning.
När får den användas?: X₁,…,Xₙ är oberoende och likafördelade med väntevärde μ och standardavvikelse σ>0, och n är stort.

Fördelningsapproximationer

\begin{aligned}\operatorname{Hyp}(N,n,p)&\approx\operatorname{Bin}(n,p)&&\text{om }n/N\le0.1\\\operatorname{Bin}(n,p)&\approx\operatorname{Po}(np)&&\text{om }p\le0.1\\\operatorname{Bin}(n,p)&\approx N(np,\sqrt{np(1-p)})&&\text{om }np(1-p)\ge10\\\operatorname{Po}(\mu)&\approx N(\mu,\sqrt\mu)&&\text{om }\mu\ge15\\\operatorname{Gamma}(c,\lambda)&\approx N(c/\lambda,\sqrt c/\lambda)&&\text{om }c\ge20\\\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)&\approx N\!\left(\frac\alpha{\alpha+\beta},\frac{\sqrt{\alpha\beta}}{(\alpha+\beta)^{3/2}}\right)&&\text{om }\alpha,\beta\ge10\end{aligned}

Vad gör formeln?: KTH:s samlade gränser för approximation mellan kursens standardfördelningar.
När får den användas?: Använd respektive rad endast när dess angivna villkor är uppfyllt.

Tjebysjovs olikhet

P(|X-\mu|>k\sigma)\le\frac1{k^2}

Vad gör formeln?: Ger en fördelningsoberoende övre gräns för stora avvikelser från väntevärdet.
När får den användas?: E(X)=μ, D(X)=σ>0 och k>0.

Kan du använda gränsvärdessatser och approximationer?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift