10. Bayesiansk inferens

Bayesiansk inferens

Posteriorfördelning, marginalfördelning och konjugata uppdateringsregler.

Översikt

Bayesiansk inferens

KTH:s officiella formelsamling för SF1914, SF1915 och SF1916 samlar 7 sökbara formler under detta moment. Formler och villkor följer aprilutgåvan 2025; användningssteg och jämförelser är Enodas studiestöd.

Exempel

Källformel: Aprioriprediktiv fördelning, diskret parameter

Den här formeln är direkt transkriberad från den KTH-formelsamling som Canvas anger för SF1914, SF1915 och SF1916.

$f_X(x)=\sum_{\Omega_\theta}f_{X\mid\Theta}(x\mid\theta)f_\Theta(\theta)$

Fördjupning

Villkor och användning

Börja med att välja modell och kontrollera villkoren i KTH-källan. Matcha därefter parametrar och observationer mot formelns symboler. Enodas användningssteg är studiestöd och inte en del av originaldokumentet.

Formler i området

Posteriorfördelning

f_{\Theta\mid X}(\theta\mid x)=\frac{f_{X\mid\Theta}(x\mid\theta)f_\Theta(\theta)}{f_X(x)}

Vad gör formeln?: Bayes sats uttryckt för en parameter och observerad data.
När får den användas?: En prior fΘ och en datamodell fX|Θ är specificerade.

Aprioriprediktiv fördelning, kontinuerlig parameter

f_X(x)=\int_{\Omega_\theta}f_{X\mid\Theta}(x\mid\theta)f_\Theta(\theta)\,d\theta

Vad gör formeln?: Integrerar bort parametern ur den gemensamma modellen.
När får den användas?: Θ är kontinuerlig.

Aprioriprediktiv fördelning, diskret parameter

f_X(x)=\sum_{\Omega_\theta}f_{X\mid\Theta}(x\mid\theta)f_\Theta(\theta)

Vad gör formeln?: Summerar bort parametern ur den gemensamma modellen.
När får den användas?: Θ är diskret.

Beta-binomial-uppdatering

\Theta\mid X_1=x_1,\ldots,X_k=x_k\sim\operatorname{Beta}\!\left(\alpha+\sum_{i=1}^k x_i,\beta+\sum_{i=1}^k(n_i-x_i)\right)

Vad gör formeln?: Uppdaterar beta-priorens två formparametrar med framgångar och misslyckanden.
När får den användas?: Θ∼Beta(α,β) och Xᵢ|Θ=θ∼Bin(nᵢ,θ), betingat oberoende.

Normal-normal-uppdatering

\Theta\mid\boldsymbol X=\boldsymbol x\sim N\!\left(\frac{\mu_0/\tau_0^2+\sum_{i=1}^k x_i/\sigma^2}{1/\tau_0^2+k/\sigma^2},\frac1{\sqrt{1/\tau_0^2+k/\sigma^2}}\right)

Vad gör formeln?: Posteriorens precision är summan av priorns och observationernas precisioner.
När får den användas?: Θ∼N(μ₀,τ₀) och Xᵢ|Θ=θ∼N(θ,σ), betingat oberoende.

Gamma-poisson-uppdatering

\Theta\mid\boldsymbol X=\boldsymbol x\sim\operatorname{Gamma}\!\left(c+\sum_{i=1}^k x_i,\lambda+k\right)

Vad gör formeln?: Uppdaterar gamma-prioren med det totala antalet händelser och antalet observationer.
När får den användas?: Θ∼Gamma(c,λ) och Xᵢ|Θ=θ∼Po(θ), betingat oberoende.

Gamma-exponential-uppdatering

\Theta\mid\boldsymbol X=\boldsymbol x\sim\operatorname{Gamma}\!\left(c+k,\lambda+\sum_{i=1}^k x_i\right)

Vad gör formeln?: Uppdaterar gamma-prioren med stickprovsstorleken och den sammanlagda väntetiden.
När får den användas?: Θ∼Gamma(c,λ) och Xᵢ|Θ=θ∼Exp(θ), betingat oberoende.

Kan du använda bayesiansk inferens?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift