Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
9. Chi-två-test och linjär regression

Hypotesprövning och χ²-test

Signifikans, styrka och χ²-test av fördelning, homogenitet och oberoende.

Översikt

Hypotesprövning och χ²-test

KTH:s officiella formelsamling för SF1914, SF1915 och SF1916 samlar 8 sökbara formler under detta moment. Formler och villkor följer aprilutgåvan 2025; användningssteg och jämförelser är Enodas studiestöd.

Exempel

Källformel: χ²-testets beräkningsform

Den här formeln är direkt transkriberad från den KTH-formelsamling som Canvas anger för SF1914, SF1915 och SF1916.

Q=(∑j=1rxj2npj)−nQ=\left(\sum_{j=1}^r\frac{x_j^2}{np_j}\right)-n

Fördjupning

Villkor och användning

Börja med att välja modell och kontrollera villkoren i KTH-källan. Matcha därefter parametrar och observationer mot formelns symboler. Enodas användningssteg är studiestöd och inte en del av originaldokumentet.

Formler i området

Signifikansnivå

α=max⁡P(fo¨rkasta H0∣H0 a¨r sann)\alpha=\max P(\text{förkasta }H_0\mid H_0\text{ är sann})
Vad gör formeln?
Felrisken för att förkasta en sann nollhypotes.
När får den användas?
Nollhypotes och testregel är specificerade.

Styrkefunktion

h(θ)=P(fo¨rkasta H0∣θ a¨r ra¨tt parameterva¨rde)h(\theta)=P(\text{förkasta }H_0\mid\theta\text{ är rätt parametervärde})
Vad gör formeln?
Sannolikheten att testet förkastar H₀ som funktion av det sanna parametervärdet.
När får den användas?
Testregel och parametermodell är specificerade.

Konfidensmetoden för hypotesprövning

Fo¨rkasta H0:θ=θ0 pa˚ niva˚n α om θ0∉I1−α\text{Förkasta }H_0:\theta=\theta_0\text{ på nivån }\alpha\text{ om }\theta_0\notin I_{1-\alpha}
Vad gör formeln?
Kopplar ett tvåsidigt hypottest till motsvarande konfidensintervall.
När får den användas?
I₁₋α är ett lämpligt valt konfidensintervall för θ.

χ²-test av given fördelning

Q=∑j=1r(xj−npj)2npj≈χ2(r−1)Q=\sum_{j=1}^r\frac{(x_j-np_j)^2}{np_j}\approx\chi^2(r-1)
Vad gör formeln?
Jämför observerade och förväntade frekvenser mot en helt specificerad fördelning.
När får den användas?
H₀ anger p₁,…,pᵣ och npⱼ≥5 för j=1,…,r.

χ²-testets beräkningsform

Q=(∑j=1rxj2npj)−nQ=\left(\sum_{j=1}^r\frac{x_j^2}{np_j}\right)-n
Vad gör formeln?
Algebraiskt förenklad beräkning av teststorheten Q.
När får den användas?
Samma villkor som för χ²-test av given fördelning.

χ²-test med skattade parametrar

Q′=∑j=1r(xj−npj(θobs∗))2npj(θobs∗)≈χ2(r−k−1)Q'=\sum_{j=1}^r\frac{(x_j-np_j(\theta^*_{\mathrm{obs}}))^2}{np_j(\theta^*_{\mathrm{obs}})}\approx\chi^2(r-k-1)
Vad gör formeln?
Frihetsgraderna minskas när sannolikheter skattas från samma data.
När får den användas?
k parametrar skattas ur data och de förväntade frekvenserna uppfyller approximationsvillkoren.

Homogenitetstest

Q=∑i=1s∑j=1r(xij−nimjN)2nimjN≈χ2((r−1)(s−1))Q=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^r\frac{\left(x_{ij}-\frac{n_im_j}{N}\right)^2}{\frac{n_im_j}{N}}\approx\chi^2((r-1)(s-1))
Vad gör formeln?
Testar om utfallssannolikheterna är desamma i flera försöksserier.
När får den användas?
nᵢmⱼ/N≥5 för alla i=1,…,s och j=1,…,r.

Oberoendetest

Q=∑i=1s∑j=1r(xij−nimjN)2nimjN≈χ2((r−1)(s−1))Q=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^r\frac{\left(x_{ij}-\frac{n_im_j}{N}\right)^2}{\frac{n_im_j}{N}}\approx\chi^2((r-1)(s-1))
Vad gör formeln?
Samma teststorhet som homogenitetstestet används för att testa oberoende mellan två kategorivariabler.
När får den användas?
nᵢmⱼ/N≥5 för alla celler i korstabellen.

Kan du använda hypotesprövning och χ²-test?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift