2. Betingad sannolikhet och oberoende

Betingad sannolikhet och oberoende

Betingning, oberoende, total sannolikhet och Bayes sats. Ingen av dem finns i KTH:s formelsamling utan måste kunnas utantill.

Översikt

Kärnan i betingning

Betingad sannolikhet är sannolikheten för en händelse när något redan är känt. Utfallsrummet krymper till det som betingas på, och sannolikheterna normeras om mot den nya helheten.

$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Exempel

Metod och kontroll

Bayes sats vänder på betingningen. Den är vad som behövs när orsaken söks ur verkan, och nämnaren är alltid lagen om total sannolikhet.

$P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)\,P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)\,P(A_j)}$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Formlerna i det här avsnittet står inte i KTH:s formelsamling utan måste kunnas utantill. Den vanligaste förväxlingen är att kasta om ordningen i betingningen: sannolikheten för en sjukdom givet ett positivt prov är inte densamma som sannolikheten för ett positivt prov givet sjukdomen, och det är just den skillnaden Bayes sats reder ut. Oberoende är dessutom något annat än att händelserna är oförenliga — två oförenliga händelser med positiv sannolikhet är alltid beroende.

Formler i området

Betingad sannolikhet

P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Vad gör formeln?: Sannolikheten för en händelse när något redan är känt, normerad mot det krympta utfallsrummet.
När får den användas?: Kräver att den betingande händelsen har positiv sannolikhet.

Multiplikationssatsen

P(A\cap B) = P(A\mid B)\,P(B)

Vad gör formeln?: Sannolikheten att båda händelserna inträffar, uppdelad i ett steg i taget.
När får den användas?: Kräver att den betingande händelsen har positiv sannolikhet; kan kedjas för fler händelser.

Oberoende händelser

P(A\cap B) = P(A)\,P(B)

Vad gör formeln?: Två händelser är oberoende precis när den ena inte ändrar sannolikheten för den andra.
När får den användas?: Definitionen av oberoende; oberoende är inte samma sak som oförenliga.

Lagen om total sannolikhet

P(B) = \sum_{i} P(B\mid A_i)\,P(A_i)

Vad gör formeln?: Sannolikheten för en händelse räknad genom att dela upp utfallsrummet i fall och väga ihop dem.
När får den användas?: Händelserna A_i måste vara parvis oförenliga och tillsammans täcka hela utfallsrummet.

Bayes sats

P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)\,P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)\,P(A_j)}

Vad gör formeln?: Vänder på betingningen och ger sannolikheten för orsaken när verkan är känd.
När får den användas?: Samma krav som lagen om total sannolikhet, och den betingande händelsen måste ha positiv sannolikhet.

Kan du använda betingad sannolikhet och oberoende?

Lös en riktig tentauppgift från SF1914/SF1915/SF1916 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift