Formelsamling för Envariabelanalys

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1

Vad gör formeln?: Grundgränsvärde för trigonometriska uttryck nära origo.
När får den användas?: Vinkeln mäts i radianer och x går mot 0.

Enodas sammanfattning

Standardgränsvärdet för exponentialfunktionen

\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1

Vad gör formeln?: Kopplar exponentialfunktionens lokala förändring till i 0.
När får den användas?: x går mot 0.

Enodas sammanfattning

Instängningssatsen

g(x)\le f(x)\le h(x)\text{ nära }a,\quad\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\ \Rightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)=L

Vad gör formeln?: Ger för ett uttryck som klämts in mellan två funktioner med samma , typiskt en begränsad faktor gånger något som går mot noll.
När får den användas?: Olikheten behöver bara gälla i en omgivning av a, punkten a själv undantagen, och de båda yttre gränsvärdena måste vara lika.

Enodas sammanfattning

Kontinuitetskriteriet

f\text{ kontinuerlig i }a\iff\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Vad gör formeln?: Jämför med funktionsvärdet i punkten.
När får den användas?: a tillhör funktionens definitionsmängd och det tvåsidiga finns.

Enodas sammanfattning

Satsen om mellanliggande värde

f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists c\in(a,b):f(c)=0

Vad gör formeln?: Ett teckenbyte hos en funktion garanterar ett nollställe.
När får den användas?: f är på det slutna intervallet [a,b].

Enodas sammanfattning

Extremvärdessatsen

f\text{ kontinuerlig på }[a,b]\ \Rightarrow\ \exists\,x_{\min},x_{\max}\in[a,b]\ \text{med}\ f(x_{\min})\le f(x)\le f(x_{\max})\text{ för alla }x\in[a,b]

Vad gör formeln?: Garanterar att en funktion antar ett största och ett minsta värde på ett slutet begränsat intervall, vilket motiverar den vanliga jämförelsen mellan och ändpunkter.
När får den användas?: Intervallet måste vara både slutet och begränsat, och funktionen i hela intervallet. Faller ett av villkoren kan största eller minsta värde saknas.

Enodas sammanfattning

Derivata

Derivatans definition

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Vad gör formeln?: Definierar funktionens momentana förändringstakt i punkten a.
När får den användas?: Det ändliga tvåsidiga måste finnas.

Enodas sammanfattning

Produktregeln

(fg)'=f'g+fg'

Vad gör formeln?: Deriverar en produkt utan att multiplicera ut den.
När får den användas?: f och g är deriverbara.

Enodas sammanfattning

Kvotregeln

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Vad gör formeln?: Deriverar en kvot med korrekt ordning i täljaren.
När får den användas?: f och g är deriverbara och g är skild från noll.

Enodas sammanfattning

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)

Vad gör formeln?: Deriverar en sammansatt funktion lager för lager.
När får den användas?: g är deriverbar i x och f är deriverbar i g(x).

Enodas sammanfattning

Implicit

\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}

Vad gör formeln?: Bestämmer när y ges implicit av en ekvation.
När får den användas?: F är kontinuerligt deriverbar nära punkten, F=0 och F_y är skild från noll.

Enodas sammanfattning

av en invers funktion

(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}

Vad gör formeln?: Inversens lutning är reciproken av ursprungsfunktionens lutning.
När får den användas?: f är deriverbar och strikt monoton på ett intervall samt f'(a)≠0.

Enodas sammanfattning

Medelvärdessatsen

Transcendenta funktioner →

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\quad\text{för något }c\in(a,b)

Vad gör formeln?: Någon tangentlutning är lika med sekantens medellutning.
När får den användas?: f är på [a,b] och deriverbar på (a,b).

Enodas sammanfattning

Transcendenta funktioner och ODE

Arcusfunktionerna med derivator

\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^{2}}

Vad gör formeln?: Inverserna till sinus, cosinus och tangens på deras monotona grenar, tillsammans med derivatorna som gör dem användbara både vid derivering och som .
När får den användas?: Derivatorna för arcsin och arccos gäller för |x|<1, för arctan för alla reella x. Värdemängderna är [-π/2, π/2] för arcsin, [0, π] för arccos och det öppna intervallet (-π/2, π/2) för arctan.

Enodas sammanfattning

Separabel

y'=g(t)h(y)\Rightarrow\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(t)\,dt+C

Vad gör formeln?: Separerar beroende och oberoende variabel före integration.
När får den användas?: Divisionen kräver h(y)≠0; konstanta lösningar från h(y)=0 kontrolleras separat.

Enodas sammanfattning

Exponentiell tillväxt och avklingning

y'=ky\Rightarrow y=Ce^{kt},\qquad y'=k(y-A)\Rightarrow y=A+Ce^{kt}

Vad gör formeln?: Modellerar proportionell förändring och rörelse mot en jämvikt.
När får den användas?: k och jämviktsvärdet A är konstanta.

Enodas sammanfattning

Karakteristisk ekvation och homogen lösning

\begin{array}{l}ay''+by'+cy=0\ \Rightarrow\ ar^{2}+br+c=0\\[6pt] r_1\ne r_2\text{ reella}:\ y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}\\[6pt] r\text{ dubbelrot}:\ y_h=(C_1+C_2t)e^{rt}\\[6pt] r=\alpha\pm i\beta:\ y_h=e^{\alpha t}\left(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t\right)\end{array}

Vad gör formeln?: Kursens metod för homogena ekvationer med konstanta koefficienter: översätt till en andragradsekvation och läs av den allmänna homogena lösningen ur rötternas typ.
När får den användas?: Koefficienterna a, b och c är konstanta och a≠0. Rotfallet avgörs av diskriminanten, och de två konstanterna bestäms först när begynnelse- eller randvillkor sätts in.

Enodas sammanfattning

Resonansjustering av partikuläransats

\alpha+i\beta\text{ rot av multiplicitet }s\Rightarrow y_p=t^s e^{\alpha t}(P(t)\cos\beta t+Q(t)\sin\beta t)

Vad gör formeln?: Multiplicerar ansatsen med rätt potens av t när den överlappar den homogena lösningen.
När får den användas?: Högerledet har motsvarande exponential-polynom-trigonometriska form.

Enodas sammanfattning

Tillämpningar av derivata och Taylorpolynom

Fermats sats

c\text{ inre lokal extrempunkt och }f'(c)\text{ finns}\Rightarrow f'(c)=0

Vad gör formeln?: En deriverbar funktion har horisontell tangent i en inre extrempunkt.
När får den användas?: c är en inre punkt i definitionsmängden.

Enodas sammanfattning

Förstaderivatatestet

f':+\to-\Rightarrow\text{ lokalt max},\qquad f':-\to+\Rightarrow\text{ lokalt min}

Vad gör formeln?: Klassificerar en genom teckenbyte hos .
När får den användas?: Derivatans tecken kan bestämmas på båda sidor om den kritiska punkten.

Enodas sammanfattning

Teckentabell som metod

\begin{array}{c|ccccc}x & & x_1 & & x_2 & \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ f(x) & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow\end{array}

Vad gör formeln?: Systematiskt sätt att gå från derivatans tecken till funktionens monotonitet och vidare till lokala extrempunkter, och den redovisning tentorna efterfrågar vid kurvundersökning.
När får den användas?: Tabellen förutsätter att alla nollställen till och alla punkter där eller funktionen saknas finns med som kolumner. Mellan två sådana punkter har konstant tecken.

Enodas sammanfattning

Andraderivatatestet

f'(a)=0,\ f''(a)>0\Rightarrow\text{ lokalt min};\quad f''(a)<0\Rightarrow\text{ lokalt max}

Vad gör formeln?: Klassificerar en stationär punkt med krökningens tecken.
När får den användas?: f är två gånger deriverbar nära a och f'(a)=0.

Enodas sammanfattning

Tangent och normal

y-f(a)=f'(a)(x-a),\qquad k_{normal}=-\frac{1}{f'(a)}

Vad gör formeln?: Beskriver den lokala linjära geometrin vid grafen.
När får den användas?: f är deriverbar i a; normalens lutningsform kräver f'(a)≠0.

Enodas sammanfattning

Sned asymptot

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad m=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)

Vad gör formeln?: Bestämmer koefficienterna i asymptoten y=kx+m.
När får den användas?: Båda gränsvärdena är ändliga i den aktuella riktningen och k≠0.

Enodas sammanfattning

l'Hospitals regel

\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}

Vad gör formeln?: Ersätter en obestämd kvot med kvoten av derivatorna.
När får den användas?: Kvoten har formen 0/0 eller ±∞/±∞, funktionerna är deriverbara i en punkterad omgivning och derivatakvotens finns.

Enodas sammanfattning

T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

Vad gör formeln?: Approximerar en funktion lokalt med ett polynom.
När får den användas?: Derivatorna till och med ordning n finns i utvecklingspunkten a.

Enodas sammanfattning

Lagranges

f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

Vad gör formeln?: Uttrycker och begränsar felet i en Taylorapproximation.
När får den användas?: f är n+1 gånger kontinuerligt deriverbar på intervallet mellan a och x.

Enodas sammanfattning

Maclaurinseriernas standardutvecklingar

\begin{array}{ll}\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} & \displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}\\[10pt] \displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & \displaystyle(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^{n}\\[10pt] \displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} & \displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\end{array}

Vad gör formeln?: De sex utvecklingar kring noll som förutsätts kända. Ur dem fås alla andra genom variabelbyte, derivering, integrering eller multiplikation, utan att derivator behöver räknas ut på nytt.
När får den användas?: Utvecklingarna för exponentialfunktionen, sinus och cosinus gäller för alla reella x. Logaritmutvecklingen gäller för x större än minus ett och högst ett, medan binomialserien och den geometriska utvecklingen kräver att absolutbeloppet av x är mindre än ett.

Enodas sammanfattning

Ordo-regler nära noll

O(x^m)+O(x^n)=O(x^{\min(m,n)}),\qquad O(x^m)O(x^n)=O(x^{m+n})

Vad gör formeln?: Håller reda på feltermers storleksordning vid utvecklingar.
När får den användas?: Reglerna är angivna för x→0.

Enodas sammanfattning

Integraler

Integralkalkylens huvudsats

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\Rightarrow F'(x)=f(x),\qquad\int_a^b f=F(b)-F(a)

Vad gör formeln?: Kopplar bestämd integration till .
När får den användas?: f är på det aktuella intervallet.

Enodas sammanfattning

Primitivfunktionstabell

\begin{array}{ll}\displaystyle\int x^{r}\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C\ (r\neq-1) & \displaystyle\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C\\[4pt] \displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C & \displaystyle\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\\[4pt] \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C & \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C\\[4pt] \displaystyle\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x+C & \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C\end{array}

Vad gör formeln?: De som förutsätts kända utan härledning, och den lista varje substitution eller partiell integration syftar till att träffa.
När får den användas?: Varje formel gäller på ett intervall där integranden är definierad. Logaritmen kräver absolutbelopp eftersom intervallet kan ligga till vänster om noll, och basen a ska vara positiv och skild från ett.

Enodas sammanfattning

Substitutionsregeln

\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du,\qquad u=g(x)

Vad gör formeln?: Byter variabel för att synliggöra en enklare .
När får den användas?: Substitutionen är deriverbar och gränserna byts vid bestämd integral.

Enodas sammanfattning

Partiell integration

\int u\,dv=uv-\int v\,du

Vad gör formeln?: Flyttar en mellan två faktorer i en integral.
När får den användas?: u och v är deriverbara på intervallet.

Enodas sammanfattning

Partialbråksuppdelning

\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}

Vad gör formeln?: Delar en rationell funktion i enklare integrerbara bråk.
När får den användas?: Nämnaren är faktoriserad och bråket är äkta efter eventuell polynomdivision.

Enodas sammanfattning

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\max\Delta x_k\to0}\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k

Vad gör formeln?: Definierar integralen som av ändliga summor.
När får den användas?: f är Riemannintegrerbar och ξ_k ligger i respektive delintervall.

Enodas sammanfattning

Båglängd och tillämpningar

Area mellan kurvor

A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx

Vad gör formeln?: Summerar den positiva skillnaden mellan översta och nedersta kurvan.
När får den användas?: Skärningspunkterna är kända och intervallet delas där kurvornas ordning byts.

Enodas sammanfattning

Rotationsvolym med skivmetoden

V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx

Vad gör formeln?: Bygger rotationsvolymen av skivor eller brickor.
När får den användas?: R och r är yttre respektive inre radie vinkelrätt mot rotationsaxeln.

Enodas sammanfattning

för en graf

L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx

Vad gör formeln?: Summerar infinitesimala längdelement längs grafen.
När får den användas?: f är kontinuerligt deriverbar och grafen genomlöps en gång.

Enodas sammanfattning

Massa och tyngdpunkt för en tråd

m=\int_a^b\rho(x)\,dx,\qquad\bar x=\frac{1}{m}\int_a^b x\rho(x)\,dx

Vad gör formeln?: Beräknar total massa och massans medelposition.
När får den användas?: ρ är en icke-negativ linjär och totalmassan är positiv.

Enodas sammanfattning

Arbete av en varierande kraft

W=\int_a^b F(x)\,dx

Vad gör formeln?: Summerar kraft gånger infinitesimal förflyttning.
När får den användas?: F är kraftkomponenten i rörelsens riktning.

Enodas sammanfattning

Serier

Generaliserad integral i allmän form

\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_a^{R}f(x)\,dx,\qquad\int_a^{b}f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx

Vad gör formeln?: Definitionen bakom alla konvergensfrågor: en generaliserad integral är ett av vanliga integraler, både vid oändlig gräns och vid singulär ändpunkt.
När får den användas?: Varje oändlig gräns och varje punkt där integranden saknar ändligt värde måste brytas ut i ett eget . Integralen är konvergent bara när samtliga gränsvärden existerar ändligt.

Enodas sammanfattning

p-integralen

\int_1^\infty x^{-p}\,dx\text{ konvergerar}\iff p>1

Vad gör formeln?: Standardmodell för på oändligt intervall.
När får den användas?: Integralen tolkas som ett vid oändligheten.

Enodas sammanfattning

Geometrisk serie

\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}\text{ för }|r|<1,\qquad\text{divergent för }|r|\ge1\ (a\neq0)

Vad gör formeln?: Den enda standardserien vars summa går att skriva i sluten form, och därmed den serie som används både för att svara med ett exakt värde och som jämförelseserie.
När får den användas?: Kvoten mellan två på varandra följande termer ska vara konstant lika med r. Formeln förutsätter att summationen börjar vid index noll, annars ersätts täljaren av den första term som faktiskt ingår.

Enodas sammanfattning

p-serien

\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\text{ konvergerar}\iff p>1

Vad gör formeln?: Standardserie som används vid jämförelsetest.
När får den användas?: p är reellt.

Enodas sammanfattning

Nödvändigt villkor för seriekonvergens

\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ konvergent}\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n=0,\qquad\lim_{n\to\infty}a_n\neq0\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ divergent}

Vad gör formeln?: Snabbtestet som avfärdar en serie direkt: går inte termerna mot noll är serien divergent. Det omvända gäller inte och får aldrig användas som konvergensbevis.
När får den användas?: Implikationen går bara åt ena hållet. Att termerna går mot noll ger inget besked om , vilket den harmoniska serien visar.

Enodas sammanfattning

Jämförelsetestet för serier

\begin{array}{l}0\le a_n\le b_n\text{ för alla }n\ge N\\[4pt] \sum b_n\text{ konvergent}\Rightarrow\sum a_n\text{ konvergent}\\[4pt] \sum a_n\text{ divergent}\Rightarrow\sum b_n\text{ divergent}\end{array}

Vad gör formeln?: Överför nedåt och divergens uppåt mellan två serier med positiva termer, och är den vanligaste motiveringen i tentornas konvergensuppgifter. Samma resonemang används för generaliserade integraler med positiv integrand.
När får den användas?: Termerna måste vara icke-negativa från något index. Olikheten behöver bara gälla från och med det indexet, eftersom ändligt många termer inte påverkar konvergensen.

Enodas sammanfattning

Gränsjämförelsetestet

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L,\ 0<L<\infty\Rightarrow\sum a_n\text{ och }\sum b_n\text{ beter sig lika}

Vad gör formeln?: Överför konvergensbeteende mellan asymptotiskt jämförbara termer.
När får den användas?: a_n och b_n är positiva från något index.

Enodas sammanfattning

Integraltestet

\begin{array}{l}a_n=f(n),\ f\text{ positiv, avtagande och kontinuerlig på }[N,\infty)\\[6pt] \displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}a_n\text{ konvergerar}\iff\int_{N}^{\infty}f(x)\,dx\text{ konvergerar}\end{array}

Vad gör formeln?: Kopplar en serie till en generaliserad integral och avgör dem samtidigt. Kallas också Cauchys integraltest eller integralkriteriet och är det som gör p-serien till en följd av p-integralen.
När får den användas?: Funktionen måste vara positiv, avtagande och från och med N. Att den avtar behöver visas, i praktiken genom att är negativ från något index.

Enodas sammanfattning

Kvottestet

L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,\quad L<1\Rightarrow\text{ absolut konvergens},\ L>1\Rightarrow\text{ divergens}

Vad gör formeln?: Passar särskilt serier med fakulteter eller exponentialtermer.
När får den användas?: Kvoten är definierad från något index och finns.

Enodas sammanfattning

Potensseriens konvergensradie