6. Båglängd och tillämpningar

Tillämpningar av integraler

Modellera area, volym, , massa och arbete med bestämda integraler.

Översikt

Kärnan i tillämpningar av integraler

Börja alltid med att kontrollera definitioner och villkor innan en formel används.

$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$

Exempel

Metod och kontroll

Identifiera givna storheter, välj den formel vars antaganden är uppfyllda och kontrollera resultatets tecken, definitionsmängd och rimlighet.

$V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

En korrekt beräkning räcker inte om formelns villkor saknas. Skriv därför ut konvergensområde, regularitet, tecken- eller randvillkor när de påverkar slutsatsen.

Formler i området

Area mellan kurvor

A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx

Vad gör formeln?: Summerar den positiva skillnaden mellan översta och nedersta kurvan.
När får den användas?: Skärningspunkterna är kända och intervallet delas där kurvornas ordning byts.

Rotationsvolym med skivmetoden

V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx

Vad gör formeln?: Bygger rotationsvolymen av skivor eller brickor.
När får den användas?: R och r är yttre respektive inre radie vinkelrätt mot rotationsaxeln.

för en graf

L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx

Vad gör formeln?: Summerar infinitesimala längdelement längs grafen.
När får den användas?: f är kontinuerligt deriverbar och grafen genomlöps en gång.

Massa och tyngdpunkt för en tråd

m=\int_a^b\rho(x)\,dx,\qquad\bar x=\frac{1}{m}\int_a^b x\rho(x)\,dx

Vad gör formeln?: Beräknar total massa och massans medelposition.
När får den användas?: ρ är en icke-negativ linjär och totalmassan är positiv.

Arbete av en varierande kraft

W=\int_a^b F(x)\,dx

Vad gör formeln?: Summerar kraft gånger infinitesimal förflyttning.
När får den användas?: F är kraftkomponenten i rörelsens riktning.

Hänger ihop med

Förkunskap

Integraler och integrationsteknikerBeräkna integraler med huvudsatsen, substitution, partiell integration och partialbråk.

Kan du använda tillämpningar av integraler?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift