1. Gränsvärde och kontinuitet

Gränsvärden och kontinuitet

Beräkna och motivera gränsvärden samt avgör när ger existensresultat.

Översikt

Kärnan i gränsvärden och kontinuitet

Börja alltid med att kontrollera definitioner och villkor innan en formel används.

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

Exempel

Metod och kontroll

Identifiera givna storheter, välj den formel vars antaganden är uppfyllda och kontrollera resultatets tecken, definitionsmängd och rimlighet.

$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

En korrekt beräkning räcker inte om formelns villkor saknas. Skriv därför ut konvergensområde, regularitet, tecken- eller randvillkor när de påverkar slutsatsen.

Formler i området

Standardgränsvärdet för sinus

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1

Vad gör formeln?: Grundgränsvärde för trigonometriska uttryck nära origo.
När får den användas?: Vinkeln mäts i radianer och x går mot 0.

Standardgränsvärdet för exponentialfunktionen

\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1

Vad gör formeln?: Kopplar exponentialfunktionens lokala förändring till i 0.
När får den användas?: x går mot 0.

Instängningssatsen

g(x)\le f(x)\le h(x)\text{ nära }a,\quad\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\ \Rightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)=L

Vad gör formeln?: Ger för ett uttryck som klämts in mellan två funktioner med samma , typiskt en begränsad faktor gånger något som går mot noll.
När får den användas?: Olikheten behöver bara gälla i en omgivning av a, punkten a själv undantagen, och de båda yttre gränsvärdena måste vara lika.

Kontinuitetskriteriet

f\text{ kontinuerlig i }a\iff\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Vad gör formeln?: Jämför med funktionsvärdet i punkten.
När får den användas?: a tillhör funktionens definitionsmängd och det tvåsidiga finns.

Satsen om mellanliggande värde

f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists c\in(a,b):f(c)=0

Vad gör formeln?: Ett teckenbyte hos en funktion garanterar ett nollställe.
När får den användas?: f är på det slutna intervallet [a,b].

Extremvärdessatsen

f\text{ kontinuerlig på }[a,b]\ \Rightarrow\ \exists\,x_{\min},x_{\max}\in[a,b]\ \text{med}\ f(x_{\min})\le f(x)\le f(x_{\max})\text{ för alla }x\in[a,b]

Vad gör formeln?: Garanterar att en funktion antar ett största och ett minsta värde på ett slutet begränsat intervall, vilket motiverar den vanliga jämförelsen mellan och ändpunkter.
När får den användas?: Intervallet måste vara både slutet och begränsat, och funktionen i hela intervallet. Faller ett av villkoren kan största eller minsta värde saknas.

Kan du använda gränsvärden och kontinuitet?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift