3. Transcendenta funktioner och ODE

Differentialekvationer

Lös separabla ekvationer samt första och andra ordningens linjära ekvationer med konstanta koefficienter, med karakteristisk ekvation och ansatt partikulärlösning.

Översikt

Kärnan i differentialekvationer

Börja alltid med att kontrollera definitioner och villkor innan en formel används.

$ay''+by'+cy=0\Rightarrow ar^{2}+br+c=0$

Exempel

Metod och kontroll

Identifiera givna storheter, välj den formel vars antaganden är uppfyllda och kontrollera resultatets tecken, definitionsmängd och rimlighet.

$y'=g(t)h(y)\Rightarrow\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(t)\,dt+C$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

En korrekt beräkning räcker inte om formelns villkor saknas. Skriv därför ut konvergensområde, regularitet, tecken- eller randvillkor när de påverkar slutsatsen.

Formler i området

Separabel

y'=g(t)h(y)\Rightarrow\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(t)\,dt+C

Vad gör formeln?: Separerar beroende och oberoende variabel före integration.
När får den användas?: Divisionen kräver h(y)≠0; konstanta lösningar från h(y)=0 kontrolleras separat.

Exponentiell tillväxt och avklingning

y'=ky\Rightarrow y=Ce^{kt},\qquad y'=k(y-A)\Rightarrow y=A+Ce^{kt}

Vad gör formeln?: Modellerar proportionell förändring och rörelse mot en jämvikt.
När får den användas?: k och jämviktsvärdet A är konstanta.

Karakteristisk ekvation och homogen lösning

\begin{array}{l}ay''+by'+cy=0\ \Rightarrow\ ar^{2}+br+c=0\\[6pt] r_1\ne r_2\text{ reella}:\ y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}\\[6pt] r\text{ dubbelrot}:\ y_h=(C_1+C_2t)e^{rt}\\[6pt] r=\alpha\pm i\beta:\ y_h=e^{\alpha t}\left(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t\right)\end{array}

Vad gör formeln?: Kursens metod för homogena ekvationer med konstanta koefficienter: översätt till en andragradsekvation och läs av den allmänna homogena lösningen ur rötternas typ.
När får den användas?: Koefficienterna a, b och c är konstanta och a≠0. Rotfallet avgörs av diskriminanten, och de två konstanterna bestäms först när begynnelse- eller randvillkor sätts in.

Resonansjustering av partikuläransats

\alpha+i\beta\text{ rot av multiplicitet }s\Rightarrow y_p=t^s e^{\alpha t}(P(t)\cos\beta t+Q(t)\sin\beta t)

Vad gör formeln?: Multiplicerar ansatsen med rätt potens av t när den överlappar den homogena lösningen.
När får den användas?: Högerledet har motsvarande exponential-polynom-trigonometriska form.

Hänger ihop med

Förkunskap

Kan du använda differentialekvationer?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift