2. Derivata

Derivata och deriveringsregler

Tolka lokalt och använd produkt-, kvot-, kedje- och implicita regler korrekt.

Översikt

Kärnan i derivata och deriveringsregler

Börja alltid med att kontrollera definitioner och villkor innan en formel används.

$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Exempel

Metod och kontroll

Identifiera givna storheter, välj den formel vars antaganden är uppfyllda och kontrollera resultatets tecken, definitionsmängd och rimlighet.

$(fg)'=f'g+fg'$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

En korrekt beräkning räcker inte om formelns villkor saknas. Skriv därför ut konvergensområde, regularitet, tecken- eller randvillkor när de påverkar slutsatsen.

Formler i området

Derivatans definition

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Vad gör formeln?: Definierar funktionens momentana förändringstakt i punkten a.
När får den användas?: Det ändliga tvåsidiga måste finnas.

Produktregeln

(fg)'=f'g+fg'

Vad gör formeln?: Deriverar en produkt utan att multiplicera ut den.
När får den användas?: f och g är deriverbara.

Kvotregeln

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Vad gör formeln?: Deriverar en kvot med korrekt ordning i täljaren.
När får den användas?: f och g är deriverbara och g är skild från noll.

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)

Vad gör formeln?: Deriverar en sammansatt funktion lager för lager.
När får den användas?: g är deriverbar i x och f är deriverbar i g(x).

Implicit

\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}

Vad gör formeln?: Bestämmer när y ges implicit av en ekvation.
När får den användas?: F är kontinuerligt deriverbar nära punkten, F=0 och F_y är skild från noll.

av en invers funktion

(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}

Vad gör formeln?: Inversens lutning är reciproken av ursprungsfunktionens lutning.
När får den användas?: f är deriverbar och strikt monoton på ett intervall samt f'(a)≠0.

Medelvärdessatsen

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\quad\text{för något }c\in(a,b)

Vad gör formeln?: Någon tangentlutning är lika med sekantens medellutning.
När får den användas?: f är på [a,b] och deriverbar på (a,b).

Hänger ihop med

Förkunskap

Gränsvärden och kontinuitetBeräkna och motivera gränsvärden samt avgör när kontinuitet ger existensresultat.

Kan du använda derivata och deriveringsregler?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift