4. Tillämpningar av derivata och Taylorpolynom

Taylorutveckling och approximation

Approximerar funktioner med och kontrollerar felet med resttermer.

Översikt

Kärnan i taylorutveckling och approximation

Börja alltid med att kontrollera definitioner och villkor innan en formel används.

$T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$

Exempel

Metod och kontroll

Identifiera givna storheter, välj den formel vars antaganden är uppfyllda och kontrollera resultatets tecken, definitionsmängd och rimlighet.

$f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

En korrekt beräkning räcker inte om formelns villkor saknas. Skriv därför ut konvergensområde, regularitet, tecken- eller randvillkor när de påverkar slutsatsen.

Formler i området

T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

Vad gör formeln?: Approximerar en funktion lokalt med ett polynom.
När får den användas?: Derivatorna till och med ordning n finns i utvecklingspunkten a.

Lagranges

f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

Vad gör formeln?: Uttrycker och begränsar felet i en Taylorapproximation.
När får den användas?: f är n+1 gånger kontinuerligt deriverbar på intervallet mellan a och x.

Maclaurinseriernas standardutvecklingar

\begin{array}{ll}\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} & \displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}\\[10pt] \displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & \displaystyle(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^{n}\\[10pt] \displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} & \displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\end{array}

Vad gör formeln?: De sex utvecklingar kring noll som förutsätts kända. Ur dem fås alla andra genom variabelbyte, derivering, integrering eller multiplikation, utan att derivator behöver räknas ut på nytt.
När får den användas?: Utvecklingarna för exponentialfunktionen, sinus och cosinus gäller för alla reella x. Logaritmutvecklingen gäller för x större än minus ett och högst ett, medan binomialserien och den geometriska utvecklingen kräver att absolutbeloppet av x är mindre än ett.

Ordo-regler nära noll

O(x^m)+O(x^n)=O(x^{\min(m,n)}),\qquad O(x^m)O(x^n)=O(x^{m+n})

Vad gör formeln?: Håller reda på feltermers storleksordning vid utvecklingar.
När får den användas?: Reglerna är angivna för x→0.

Hänger ihop med

Förkunskap

Generaliserade integraler och serierAvgör konvergens med jämförelser, standardserier och kvot-, rot- eller integraltest.

Kan du använda taylorutveckling och approximation?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift