3. Transcendenta funktioner och ODE

Transcendenta funktioner

Inversa funktioner och inversens , potens- och logaritmlagar samt arcusfunktionerna med deras derivator.

Översikt

Kärnan i transcendenta funktioner

Börja alltid med att kontrollera definitionsmängd och värdemängd innan en formel används.

$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^{2}},\quad\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Exempel

Metod och kontroll

Skriv om uttrycket med potens- och logaritmlagarna, derivera med och kontrollera att argumentet ligger i den inversa funktionens definitionsmängd.

$e^{a+b}=e^{a}e^{b},\quad\ln(ab)=\ln a+\ln b,\quad\ln(a^{r})=r\ln a,\quad\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Arcusfunktionerna har begränsade värdemängder, så ett svar utanför intervallet är fel även när räkningen stämmer. Logaritmen kräver positivt argument och arcsin ett argument i det slutna enhetsintervallet.

Formler i området

Arcusfunktionerna med derivator

\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^{2}}

Vad gör formeln?: Inverserna till sinus, cosinus och tangens på deras monotona grenar, tillsammans med derivatorna som gör dem användbara både vid derivering och som .
När får den användas?: Derivatorna för arcsin och arccos gäller för |x|<1, för arctan för alla reella x. Värdemängderna är [-π/2, π/2] för arcsin, [0, π] för arccos och det öppna intervallet (-π/2, π/2) för arctan.

Kan du använda transcendenta funktioner?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift