Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
4. Tillämpningar av derivata och Taylorpolynom

Derivatatillämpningar och extremvärden

Använd derivatans tecken, centrala satser och asymptoter för att analysera funktioner.

Översikt

Kärnan i derivatatillämpningar och extremvärden

Börja alltid med att kontrollera definitioner och villkor innan en formel används.

c inre lokal extrempunkt och f′(c) finns⇒f′(c)=0c\text{ inre lokal extrempunkt och }f'(c)\text{ finns}\Rightarrow f'(c)=0

Exempel

Metod och kontroll

Identifiera givna storheter, välj den formel vars antaganden är uppfyllda och kontrollera resultatets tecken, definitionsmängd och rimlighet.

f′:+→−⇒ lokalt max,f′:−→+⇒ lokalt minf':+\to-\Rightarrow\text{ lokalt max},\qquad f':-\to+\Rightarrow\text{ lokalt min}

Fördjupning

Vanliga fallgropar

En korrekt beräkning räcker inte om formelns villkor saknas. Skriv därför ut konvergensområde, regularitet, tecken- eller randvillkor när de påverkar slutsatsen.

Formler i området

Fermats sats

c inre lokal extrempunkt och f′(c) finns⇒f′(c)=0c\text{ inre lokal extrempunkt och }f'(c)\text{ finns}\Rightarrow f'(c)=0
Vad gör formeln?
En deriverbar funktion har horisontell tangent i en inre extrempunkt.
När får den användas?
c är en inre punkt i definitionsmängden.

Förstaderivatatestet

f′:+→−⇒ lokalt max,f′:−→+⇒ lokalt minf':+\to-\Rightarrow\text{ lokalt max},\qquad f':-\to+\Rightarrow\text{ lokalt min}
Vad gör formeln?
Klassificerar en genom teckenbyte hos .
När får den användas?
Derivatans tecken kan bestämmas på båda sidor om den kritiska punkten.

Teckentabell som metod

xx1x2f′(x)+0−0+f(x)↗max↘min↗\begin{array}{c|ccccc}x & & x_1 & & x_2 & \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ f(x) & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow\end{array}
Vad gör formeln?
Systematiskt sätt att gå från derivatans tecken till funktionens monotonitet och vidare till lokala extrempunkter, och den redovisning tentorna efterfrågar vid kurvundersökning.
När får den användas?
Tabellen förutsätter att alla nollställen till och alla punkter där eller funktionen saknas finns med som kolumner. Mellan två sådana punkter har konstant tecken.

Andraderivatatestet

f′(a)=0, f′′(a)>0⇒ lokalt min;f′′(a)<0⇒ lokalt maxf'(a)=0,\ f''(a)>0\Rightarrow\text{ lokalt min};\quad f''(a)<0\Rightarrow\text{ lokalt max}
Vad gör formeln?
Klassificerar en stationär punkt med krökningens tecken.
När får den användas?
f är två gånger deriverbar nära a och f'(a)=0.

Tangent och normal

y−f(a)=f′(a)(x−a),knormal=−1f′(a)y-f(a)=f'(a)(x-a),\qquad k_{normal}=-\frac{1}{f'(a)}
Vad gör formeln?
Beskriver den lokala linjära geometrin vid grafen.
När får den användas?
f är deriverbar i a; normalens lutningsform kräver f'(a)≠0.

Sned asymptot

k=lim⁡x→±∞f(x)x,m=lim⁡x→±∞(f(x)−kx)k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad m=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)
Vad gör formeln?
Bestämmer koefficienterna i asymptoten y=kx+m.
När får den användas?
Båda gränsvärdena är ändliga i den aktuella riktningen och k≠0.

l'Hospitals regel

lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}
Vad gör formeln?
Ersätter en obestämd kvot med kvoten av derivatorna.
När får den användas?
Kvoten har formen 0/0 eller ±∞/±∞, funktionerna är deriverbara i en punkterad omgivning och derivatakvotens finns.

Hänger ihop med

Kan du använda derivatatillämpningar och extremvärden?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift