Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
7. Serier

Generaliserade integraler och serier

Avgör med jämförelser, standardserier och kvot-, rot- eller integraltest.

Översikt

Kärnan i generaliserade integraler och serier

Börja alltid med att kontrollera definitioner och villkor innan en formel används.

∫1∞x−p dx konvergerar  ⟺  p>1\int_1^\infty x^{-p}\,dx\text{ konvergerar}\iff p>1

Exempel

Metod och kontroll

Identifiera givna storheter, välj den formel vars antaganden är uppfyllda och kontrollera resultatets tecken, definitionsmängd och rimlighet.

∑n=1∞1np konvergerar  ⟺  p>1\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\text{ konvergerar}\iff p>1

Fördjupning

Vanliga fallgropar

En korrekt beräkning räcker inte om formelns villkor saknas. Skriv därför ut konvergensområde, regularitet, tecken- eller randvillkor när de påverkar slutsatsen.

Formler i området

Generaliserad integral i allmän form

∫a∞f(x) dx=lim⁡R→∞∫aRf(x) dx,∫abf(x) dx=lim⁡ε→0+∫a+εbf(x) dx\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_a^{R}f(x)\,dx,\qquad\int_a^{b}f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx
Vad gör formeln?
Definitionen bakom alla konvergensfrågor: en generaliserad integral är ett av vanliga integraler, både vid oändlig gräns och vid singulär ändpunkt.
När får den användas?
Varje oändlig gräns och varje punkt där integranden saknar ändligt värde måste brytas ut i ett eget . Integralen är konvergent bara när samtliga gränsvärden existerar ändligt.

p-integralen

∫1∞x−p dx konvergerar  ⟺  p>1\int_1^\infty x^{-p}\,dx\text{ konvergerar}\iff p>1
Vad gör formeln?
Standardmodell för på oändligt intervall.
När får den användas?
Integralen tolkas som ett vid oändligheten.

Geometrisk serie

∑n=0∞arn=a1−r fo¨r ∣r∣<1,divergent fo¨r ∣r∣≥1 (a≠0)\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}\text{ för }|r|<1,\qquad\text{divergent för }|r|\ge1\ (a\neq0)
Vad gör formeln?
Den enda standardserien vars summa går att skriva i sluten form, och därmed den serie som används både för att svara med ett exakt värde och som jämförelseserie.
När får den användas?
Kvoten mellan två på varandra följande termer ska vara konstant lika med r. Formeln förutsätter att summationen börjar vid index noll, annars ersätts täljaren av den första term som faktiskt ingår.

p-serien

∑n=1∞1np konvergerar  ⟺  p>1\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\text{ konvergerar}\iff p>1
Vad gör formeln?
Standardserie som används vid jämförelsetest.
När får den användas?
p är reellt.

Nödvändigt villkor för seriekonvergens

∑n=1∞an konvergent⇒lim⁡n→∞an=0,lim⁡n→∞an≠0⇒∑n=1∞an divergent\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ konvergent}\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n=0,\qquad\lim_{n\to\infty}a_n\neq0\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ divergent}
Vad gör formeln?
Snabbtestet som avfärdar en serie direkt: går inte termerna mot noll är serien divergent. Det omvända gäller inte och får aldrig användas som konvergensbevis.
När får den användas?
Implikationen går bara åt ena hållet. Att termerna går mot noll ger inget besked om , vilket den harmoniska serien visar.

Jämförelsetestet för serier

0≤an≤bn fo¨r alla n≥N∑bn konvergent⇒∑an konvergent∑an divergent⇒∑bn divergent\begin{array}{l}0\le a_n\le b_n\text{ för alla }n\ge N\\[4pt] \sum b_n\text{ konvergent}\Rightarrow\sum a_n\text{ konvergent}\\[4pt] \sum a_n\text{ divergent}\Rightarrow\sum b_n\text{ divergent}\end{array}
Vad gör formeln?
Överför nedåt och divergens uppåt mellan två serier med positiva termer, och är den vanligaste motiveringen i tentornas konvergensuppgifter. Samma resonemang används för generaliserade integraler med positiv integrand.
När får den användas?
Termerna måste vara icke-negativa från något index. Olikheten behöver bara gälla från och med det indexet, eftersom ändligt många termer inte påverkar konvergensen.

Gränsjämförelsetestet

lim⁡n→∞anbn=L, 0<L<∞⇒∑an och ∑bn beter sig lika\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L,\ 0<L<\infty\Rightarrow\sum a_n\text{ och }\sum b_n\text{ beter sig lika}
Vad gör formeln?
Överför konvergensbeteende mellan asymptotiskt jämförbara termer.
När får den användas?
a_n och b_n är positiva från något index.

Integraltestet

an=f(n), f positiv, avtagande och kontinuerlig pa˚ [N,∞)∑n=N∞an konvergerar  ⟺  ∫N∞f(x) dx konvergerar\begin{array}{l}a_n=f(n),\ f\text{ positiv, avtagande och kontinuerlig på }[N,\infty)\\[6pt] \displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}a_n\text{ konvergerar}\iff\int_{N}^{\infty}f(x)\,dx\text{ konvergerar}\end{array}
Vad gör formeln?
Kopplar en serie till en generaliserad integral och avgör dem samtidigt. Kallas också Cauchys integraltest eller integralkriteriet och är det som gör p-serien till en följd av p-integralen.
När får den användas?
Funktionen måste vara positiv, avtagande och från och med N. Att den avtar behöver visas, i praktiken genom att är negativ från något index.

Kvottestet

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣,L<1⇒ absolut konvergens, L>1⇒ divergensL=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,\quad L<1\Rightarrow\text{ absolut konvergens},\ L>1\Rightarrow\text{ divergens}
Vad gör formeln?
Passar särskilt serier med fakulteter eller exponentialtermer.
När får den användas?
Kvoten är definierad från något index och finns.

Potensseriens konvergensradie

∑n=0∞cn(x−a)n:∣x−a∣<R ger absolut konvergens\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n:\quad |x-a|<R\text{ ger absolut konvergens}
Vad gör formeln?
Beskriver intervallet där en .
När får den användas?
Ändpunkterna x=a±R testas separat.

Hänger ihop med

Kan du använda generaliserade integraler och serier?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift