5. Integraler

Integraler och integrationstekniker

Beräkna integraler med huvudsatsen, substitution, partiell integration och partialbråk.

Översikt

Kärnan i integraler och integrationstekniker

Börja alltid med att kontrollera definitioner och villkor innan en formel används.

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\Rightarrow F'(x)=f(x),\qquad\int_a^b f=F(b)-F(a)$

Exempel

Metod och kontroll

Identifiera givna storheter, välj den formel vars antaganden är uppfyllda och kontrollera resultatets tecken, definitionsmängd och rimlighet.

$\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du,\qquad u=g(x)$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

En korrekt beräkning räcker inte om formelns villkor saknas. Skriv därför ut konvergensområde, regularitet, tecken- eller randvillkor när de påverkar slutsatsen.

Formler i området

Integralkalkylens huvudsats

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\Rightarrow F'(x)=f(x),\qquad\int_a^b f=F(b)-F(a)

Vad gör formeln?: Kopplar bestämd integration till .
När får den användas?: f är på det aktuella intervallet.

Primitivfunktionstabell

\begin{array}{ll}\displaystyle\int x^{r}\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C\ (r\neq-1) & \displaystyle\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C\\[4pt] \displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C & \displaystyle\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\\[4pt] \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C & \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C\\[4pt] \displaystyle\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x+C & \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C\end{array}

Vad gör formeln?: De som förutsätts kända utan härledning, och den lista varje substitution eller partiell integration syftar till att träffa.
När får den användas?: Varje formel gäller på ett intervall där integranden är definierad. Logaritmen kräver absolutbelopp eftersom intervallet kan ligga till vänster om noll, och basen a ska vara positiv och skild från ett.

Substitutionsregeln

\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du,\qquad u=g(x)

Vad gör formeln?: Byter variabel för att synliggöra en enklare .
När får den användas?: Substitutionen är deriverbar och gränserna byts vid bestämd integral.

Partiell integration

\int u\,dv=uv-\int v\,du

Vad gör formeln?: Flyttar en mellan två faktorer i en integral.
När får den användas?: u och v är deriverbara på intervallet.

Partialbråksuppdelning

\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}

Vad gör formeln?: Delar en rationell funktion i enklare integrerbara bråk.
När får den användas?: Nämnaren är faktoriserad och bråket är äkta efter eventuell polynomdivision.

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\max\Delta x_k\to0}\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k

Vad gör formeln?: Definierar integralen som av ändliga summor.
När får den användas?: f är Riemannintegrerbar och ξ_k ligger i respektive delintervall.

Hänger ihop med

Förkunskap

Derivatatillämpningar och extremvärdenAnvänd derivatans tecken, centrala satser och asymptoter för att analysera funktioner.

Kan du använda integraler och integrationstekniker?

Lös en riktig tentauppgift från SF1625 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift