Formelsamling för Algebra och geometri

u\cdot v=\sum_{i=1}^{n}u_iv_i,\qquad \cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}

Vad gör formeln?: Beräknar och vinkeln mellan två .
När får den användas?: Vinkelformeln kräver u ≠ 0 och v ≠ 0.

Enodas sammanfattning

på en

\operatorname{proj}_v u=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}v

Vad gör formeln?: Delar upp u i en komponent parallell med v och en komponent mot v.
När får den användas?: Riktningsvektorn v måste vara skild från noll.

Enodas sammanfattning

och area

u\times v=\begin{bmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1\end{bmatrix},\qquad A=\|u\times v\|

Vad gör formeln?: Ger en normalvektor och parallellogrammets area.
När får den användas?: Formeln gäller i R^3; triangelarean är A/2.

Enodas sammanfattning

Trippelprodukt och volym

V=\left|u\cdot(v\times w)\right|=\left|\det[u\ v\ w]\right|

Vad gör formeln?: Beräknar parallellepipedens volym och testar koplanaritet.
När får den användas?: Vektorerna u, v och w ligger i R^3.

Enodas sammanfattning

Linjens parameterform

\ell:\ (x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+t(v_1,v_2,v_3),\qquad t\in\mathbb R

Vad gör formeln?: Beskriver samtliga punkter på en linje med en enda parameter.
När får den användas?: p är en punkt på linjen och v är en riktningsvektor skild från nollvektorn. Genom två punkter P och Q fås riktningsvektorn som v = Q − P.

Enodas sammanfattning

Planets ekvation

n\cdot(x-p)=0\quad\Longleftrightarrow\quad ax+by+cz=d,\qquad n=(a,b,c),\ d=n\cdot p

Vad gör formeln?: Översätter mellan normalvektor, punkt i planet och skalär ekvation.
När får den användas?: n är en normalvektor skild från nollvektorn och p en punkt i planet. Genom tre punkter fås n som av två riktningsvektorer i planet.

Enodas sammanfattning

Avstånd från punkt till plan

Ekvationssystem och matriser →

d(q,\Pi)=\frac{|n\cdot(q-p)|}{\|n\|}

Vad gör formeln?: Ger det vinkelräta avståndet från punkten q till planet.
När får den användas?: Planet skrivs n · (x − p) = 0 med n ≠ 0.

Enodas sammanfattning

Gauss-elimination och matrisaritmetik

och trappstegsform

[A\mid b]\ \sim\ [R\mid c],\qquad R=\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&0\end{bmatrix}

Vad gör formeln?: Reducerar systemet till en form där pivoter och fria variabler kan läsas av direkt.
När får den användas?: Radoperationerna är radbyte, multiplikation av en rad med en konstant skild från noll och addition av en multipel av en rad till en annan. Ingen av dem ändrar lösningsmängden.

Enodas sammanfattning

och antal lösningar

Ekvationssystem och matriser →

\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]\ \Longleftrightarrow\ Ax=b\text{ är konsistent}

Vad gör formeln?: Klassificerar ett linjärt system som olösbart, entydigt eller underbestämt.
När får den användas?: A har n kolonner; entydighet kräver dessutom A = n.

Enodas sammanfattning

Invers genom

Ekvationssystem och matriser →

[A\mid I]\ \sim\ [I\mid A^{-1}]

Vad gör formeln?: Ger inversen till en matris av godtycklig storlek med samma elimination som för ekvationssystem.
När får den användas?: A är n × n. Går vänsterblocket inte att reducera till enhetsmatrisen är A singulär och saknar invers.

Enodas sammanfattning

Lösningsmängder, linjärt beroende och determinanter

c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0\ \Rightarrow\ c_1=\cdots=c_k=0\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{rank}\begin{bmatrix}v_1&\cdots&v_k\end{bmatrix}=k

Vad gör formeln?: Avgör om varje bidrar med ny riktning eller om någon är överflödig.
När får den användas?: Vektorerna ligger i samma rum. För k i R^n krävs k ≤ n, och k i R^k är oberoende precis när är skild från noll.

Enodas sammanfattning

av en 2 × 2-matris

\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc

Vad gör formeln?: Avgör inverterbarhet och orienterad areaskala i två dimensioner.
När får den användas?: Matrisen är kvadratisk.

Enodas sammanfattning

Invers av en 2 × 2-matris

\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}

Vad gör formeln?: Snabb formel för inversen till en 2 × 2-matris.
När får den användas?: ad − bc måste vara skild från noll.

Enodas sammanfattning

Kofaktorutveckling

\det A=\sum_j a_{ij}(-1)^{i+j}\det A_{ij}

Vad gör formeln?: Beräknar rekursivt med minorer och teckenfaktorer.
När får den användas?: Utvecklingen kan göras längs valfri rad eller kolonn.

Enodas sammanfattning

Matrisprodukt

(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}

Vad gör formeln?: Varje post fås som mellan en rad i A och en kolonn i B.
När får den användas?: Antalet kolonner i A måste vara lika med antalet rader i B.

Enodas sammanfattning

av en produkt

\det(AB)=\det(A)\det(B)

Vad gör formeln?: Gör determinantberäkningar för produkter och inverser snabba.
När får den användas?: A och B är kvadratiska matriser av samma storlek.

Enodas sammanfattning

Determinantens räkneregler

Egenvärden och egenvektorer →

\det(A^{\mathsf T})=\det A,\qquad\det(cA)=c^{n}\det A,\qquad\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}

Vad gör formeln?: Låter uttryck som det(AB^3A^{-1}B^{-1}) förenklas utan att någon matris multipliceras ihop.
När får den användas?: A är n × n och där inversen används. Radbyte byter tecken på , multiplikation av en rad med c multiplicerar den med c, och addition av en multipel av en rad till en annan lämnar den oförändrad. För en triangulär matris är produkten av diagonalelementen.

Enodas sammanfattning

Egenvärden och linjära avbildningar

Karakteristisk ekvation

\det(A-\lambda I)=0

Vad gör formeln?: Rötterna är matrisens egenvärden, räknade med algebraisk multiplicitet.
När får den användas?: A är en kvadratisk matris.

Enodas sammanfattning

Egenvärden och egenvektorer →

E_\lambda=\operatorname{Null}(A-\lambda I)

Vad gör formeln?: Alla egenvektorer till λ tillsammans med nollvektorn bildar ett .
När får den användas?: λ är ett och måste vara skild från noll.

Enodas sammanfattning

Standardmatris för en

A=[\,T(e_1)\ T(e_2)\ \cdots\ T(e_n)\,],\qquad T(x)=Ax

Vad gör formeln?: Matrisens kolonner är standardbasvektorernas bilder.
När får den användas?: T går från R^n till R^m och är linjär.

Enodas sammanfattning

Sammansättning av

[T\circ S]=[T][S]

Vad gör formeln?: Representerar en sammansatt avbildning med en matrisprodukt.
När får den användas?: Den högra matrisen verkar först och dimensionerna måste vara kompatibla.

Enodas sammanfattning

Projektionsmatris på en linje

P=\frac{uu^T}{u^Tu}

Vad gör formeln?: Ger standardmatrisen för på en linje.
När får den användas?: u ≠ 0 och linjen är span{u}.

Enodas sammanfattning

Rotationsmatris i planet

Nollrum, kolonnrum och dimensionssatsen →

R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}

Vad gör formeln?: Roterar i R^2 utan att ändra längd eller vinkel.
När får den användas?: Positiv θ betyder moturs rotation i en positivt orienterad standardbas.

Enodas sammanfattning

Baser, ortonormalitet, projektioner och minstakvadratmetoden

och

\operatorname{Col}(A)=\{Ax:x\in\mathbb R^{n}\}\subseteq\mathbb R^{m},\qquad\operatorname{Null}(A)=\{x\in\mathbb R^{n}:Ax=0\}

Vad gör formeln?: De två grundrummen som beskriver vad en matris kan träffa och vad den avbildar på noll.
När får den användas?: A är en m × n-matris. Pivotkolonnerna i ursprungliga A ger en för kolonnrummet, medan parametervektorerna i lösningen till Ax = 0 ger en för nollrummet.

Enodas sammanfattning

Dimensionssatsen

Nollrum, kolonnrum och dimensionssatsen →

\dim\operatorname{Null}(A)+\operatorname{rank}(A)=n

Vad gör formeln?: Kopplar antalet fria variabler till kolonnrummets .
När får den användas?: A är en m × n-matris.

Enodas sammanfattning

Gram-Schmidts metod

u_j=v_j-\sum_{i=1}^{j-1}(v_j\cdot q_i)q_i,\qquad q_j=\frac{u_j}{\|u_j\|}

Vad gör formeln?: Bygger en för samma spann.
När får den användas?: Startvektorerna v_1,…,v_k måste vara .

Enodas sammanfattning

på ett

\operatorname{proj}_W x=\sum_{i=1}^{k}(x\cdot q_i)q_i,\qquad P=QQ^T

Vad gör formeln?: Ger närmaste punkt i W och en symmetrisk idempotent projektionsmatris.
När får den användas?: q_1,…,q_k är en för W och Q=[q_1 ⋯ q_k].

Enodas sammanfattning

A^TA\widehat{x}=A^Tb

Vad gör formeln?: Ger den minsta-kvadrat-lösning som minimerar normen ||Ax−b||.
När får den användas?: Används när Ax=b är överbestämt eller inkonsistent; entydighet kräver kolonner.

Enodas sammanfattning

Projektionsmatris för en basmatris

Nollrum, kolonnrum och dimensionssatsen →

P=A(A^TA)^{-1}A^T

Vad gör formeln?: Projicerar ortogonalt på kolonnrummet utan att först skriva en .
När får den användas?: Kolonnerna i A är och spänner delrummet.

Enodas sammanfattning

Delrumskriteriet

0\in W,\qquad u,v\in W\Rightarrow u+v\in W,\qquad u\in W,\ c\in\mathbb R\Rightarrow cu\in W

Vad gör formeln?: Visar att en delmängd är ett vektorrum utan att samtliga vektorrumsaxiom kontrolleras.
När får den användas?: W är en delmängd av ett vektorrum V. Alla tre villkoren måste kontrolleras, men linjära höljen och lösningsmängder till homogena system uppfyller dem automatiskt.

Enodas sammanfattning

Ortogonalt komplement

Koordinater och basbyte →

V^{\perp}=\{x\in\mathbb R^{n}:x\cdot v=0\ \ \forall v\in V\},\qquad\dim V+\dim V^{\perp}=n,\qquad(\operatorname{Col}A)^{\perp}=\operatorname{Null}(A^{\mathsf T})

Vad gör formeln?: Samlar alla som står vinkelrätt mot ett helt .
När får den användas?: V är ett av R^n. Om V ges som ett linjärt hölje fås komplementet som nollrummet till den matris som har de spännande vektorerna som rader.

Enodas sammanfattning

Diagonalisering och abstrakta vektorrum

Koordinater i en

x=P_B[x]_B,\qquad [x]_B=P_B^{-1}x

Vad gör formeln?: Översätter mellan standardkoordinater och koordinater i basen B.
När får den användas?: B=(b_1,…,b_n) är en och P_B=[b_1 ⋯ b_n].

Enodas sammanfattning

från B till C

Koordinater och basbyte →

[x]_C=P_C^{-1}P_B[x]_B

Vad gör formeln?: Byter koordinatvektor utan att ändra den geometriska .
När får den användas?: B och C är baser för samma ändligdimensionella vektorrum.

Enodas sammanfattning

A=PDP^{-1},\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)

Vad gör formeln?: Gör matrispotenser och avbildningens verkan enkla i en egenvektorbas.
När får den användas?: Kolonnerna i P måste vara n egenvektorer i samma ordning som egenvärdena i D.

Enodas sammanfattning

Spektralsatsen

A=QDQ^T

Vad gör formeln?: Varje reell symmetrisk matris kan ortogonalt.
När får den användas?: A är en reell symmetrisk matris och Q har en ortonormal egenvektorbas som kolonner.

Enodas sammanfattning

Kvadratisk form och huvudaxlar

q(x)=x^TAx,\qquad A=QDQ^T\Longrightarrow q(x)=y^TDy\ \text{för }x=Qy

Vad gör formeln?: Egenvärdena ger kvadratiska formens huvudaxelform och definithet.
När får den användas?: A tas symmetrisk; korstermen 2a_{ij}x_ix_j delas mellan a_{ij} och a_{ji}.

Enodas sammanfattning

Matrispotenser via