5. Baser, ortonormalitet, projektioner och minstakvadratmetoden

Nollrum, kolonnrum och dimensionssatsen

, , och sambandet mellan dem.

Översikt

Formler och tentametoder

och till en matris, samt dimensionssatsen som binder ihop dem. Formlerna nedan är redaktionellt sammanställda från kursens modulunderlag och återkommande tentamensmetoder.

Exempel

Genomräknat exempel

Raderna är proportionella, så kolonnrummet är endimensionellt och en fri variabel återstår.

$A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}:\quad \operatorname{rang}A=1,\quad \dim\operatorname{Null}A=1,\quad 1+1=2$

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Nollrummet Null(A) består av lösningarna till $Ax = 0$ och är ett av definitionsrummet, medan kolonnrummet Col(A) spänns upp av kolonnerna och är ett av målrummet. är av kolonnrummet och räknas som antalet pivotkolonner efter . Dimensionssatsen säger att $Null(A) + rang(A)$ är antalet kolonner i A, alltså inte antalet rader — en förväxling som ger fel svar så snart matrisen inte är kvadratisk. En för kolonnrummet hämtas ur pivotkolonnerna i den ursprungliga matrisen, inte ur trappstegsformens kolonner, eftersom radoperationer bevarar linjära beroenden mellan kolonner men ändrar kolonnerna själva.

Formler i området

och

\operatorname{Col}(A)=\{Ax:x\in\mathbb R^{n}\}\subseteq\mathbb R^{m},\qquad\operatorname{Null}(A)=\{x\in\mathbb R^{n}:Ax=0\}

Vad gör formeln?: De två grundrummen som beskriver vad en matris kan träffa och vad den avbildar på noll.
När får den användas?: A är en m × n-matris. Pivotkolonnerna i ursprungliga A ger en för kolonnrummet, medan parametervektorerna i lösningen till Ax = 0 ger en för nollrummet.

Dimensionssatsen

\dim\operatorname{Null}(A)+\operatorname{rank}(A)=n

Vad gör formeln?: Kopplar antalet fria variabler till kolonnrummets .
När får den användas?: A är en m × n-matris.

Delrumskriteriet

0\in W,\qquad u,v\in W\Rightarrow u+v\in W,\qquad u\in W,\ c\in\mathbb R\Rightarrow cu\in W

Vad gör formeln?: Visar att en delmängd är ett vektorrum utan att samtliga vektorrumsaxiom kontrolleras.
När får den användas?: W är en delmängd av ett vektorrum V. Alla tre villkoren måste kontrolleras, men linjära höljen och lösningsmängder till homogena system uppfyller dem automatiskt.

Kan du använda nollrum, kolonnrum och dimensionssatsen?

Lös en riktig tentauppgift från SF1624 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift