Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
2. Gauss-elimination och matrisaritmetik

Ekvationssystem och matriser

, , inverser och lösningsklassificering.

Översikt

Formler och tentametoder

, , inverser och lösningsklassificering. Formlerna nedan är redaktionellt sammanställda från kursens modulunderlag och återkommande tentamensmetoder.

Exempel

Genomräknat exempel

Det reducerade systemet har pivoter i x- och y-kolonnerna och z är fri. Lösningen skrivs därför med en parameter.

[102∣301−1∣4]⟹(x,y,z)=(3,4,0)+t(−2,1,1)\begin{bmatrix}1&0&2\mid&3\\0&1&-1\mid&4\end{bmatrix}\Longrightarrow (x,y,z)=(3,4,0)+t(-2,1,1)

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

bevarar lösningsmängden när du byter rader, multiplicerar en rad med ett nollskilt tal eller adderar en multipel av en rad till en annan. Kontrollera först om en rad 0=c0 = c med c ≠ 0 finns; då saknas lösning. Om systemet är konsistent ger pivot i varje variabelkolonn en entydig lösning, medan minst en fri variabel ger oändligt många lösningar. Matrisinvers hör till nästa modul och får bara användas för en kvadratisk koefficientmatris; elimination fungerar även för rektangulära eller singulära matriser. Sätt alltid tillbaka en parametriserad lösning i ursprungssystemet och skilj på (A) och ([A|b]).

Tre plan och ett linjärt system

Varje ekvation beskriver ett plan. De tre planen skär varandra i den enda punkten (3/7, 5/7, 13/7), vilket motsvarar systemets entydiga lösning.

Tre plan med normalerna (1,1,1), (2,−1,1) och (1,2,−1) skär varandra i punkten (3/7,5/7,13/7).

Laddar figur…

Formler i området

och trappstegsform

[A∣b] ∼ [R∣c],R=[1∗∗∗001∗0000][A\mid b]\ \sim\ [R\mid c],\qquad R=\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&0\end{bmatrix}
Vad gör formeln?
Reducerar systemet till en form där pivoter och fria variabler kan läsas av direkt.
När får den användas?
Radoperationerna är radbyte, multiplikation av en rad med en konstant skild från noll och addition av en multipel av en rad till en annan. Ingen av dem ändrar lösningsmängden.

och antal lösningar

rank⁡A=rank⁡[A∣b] ⟺ Ax=b a¨r konsistent\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]\ \Longleftrightarrow\ Ax=b\text{ är konsistent}
Vad gör formeln?
Klassificerar ett linjärt system som olösbart, entydigt eller underbestämt.
När får den användas?
A har n kolonner; entydighet kräver dessutom A = n.

Invers genom

[A∣I] ∼ [I∣A−1][A\mid I]\ \sim\ [I\mid A^{-1}]
Vad gör formeln?
Ger inversen till en matris av godtycklig storlek med samma elimination som för ekvationssystem.
När får den användas?
A är n × n. Går vänsterblocket inte att reducera till enhetsmatrisen är A singulär och saknar invers.

Hänger ihop med

Kan du använda ekvationssystem och matriser?

Lös en riktig tentauppgift från SF1624 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift