Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
3. Lösningsmängder, linjärt beroende och determinanter

Matriser och determinanter

Matrisalgebra, inverser, determinantregler, och geometrisk volymskalning.

Översikt

Formler och tentametoder

Matrisalgebra, inverser, determinantregler, och geometrisk volymskalning. Formlerna nedan är redaktionellt sammanställda från kursens modulunderlag och återkommande tentamensmetoder.

Exempel

Genomräknat exempel

För A=(2132)A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix} är det⁡(A)=2⋅2−1⋅3=1\det(A)=2\cdot2-1\cdot3=1, så matrisen är . Inversen är A−1=(2−1−32)A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}, och kontrollen ger AA−1=IAA^{-1}=I.

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Matrisprodukten AB är definierad när antalet kolonner i A är lika med antalet rader i B, och ordningen kan i allmänhet inte bytas. En invers finns bara för en kvadratisk matris med full . avgör inverterbarhet: det(A) ≠ 0 är ekvivalent med full och trivialt . Vid radoperationer byter ett radbyte determinantens tecken, radskalning multiplicerar och addition av en radmultipel lämnar den oförändrad. För rektangulära matriser finns ingen ; använd i stället pivotpositioner och .

Kolonnrum och rang

Kolonnernas spann visas geometriskt. Vid k=2 gäller c₃=c₁+c₂, rangen är 2 och målvektorn (1,1,1) ligger inte i kolonnrummet. För k≠2 är rangen 3 och kolonnrummet är R³.

Kolonnerna (1,0,1), (0,1,1) och (1,1,k). Vid k=2 spänner de upp ett plan med rang 2 och målvektorn (1,1,1) ligger utanför; annars är rangen 3.

Laddar figur…

Formler i området

c1v1+⋯+ckvk=0 ⇒ c1=⋯=ck=0⟺rank⁡[v1⋯vk]=kc_1v_1+\cdots+c_kv_k=0\ \Rightarrow\ c_1=\cdots=c_k=0\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{rank}\begin{bmatrix}v_1&\cdots&v_k\end{bmatrix}=k
Vad gör formeln?
Avgör om varje bidrar med ny riktning eller om någon är överflödig.
När får den användas?
Vektorerna ligger i samma rum. För k i R^n krävs k ≤ n, och k i R^k är oberoende precis när är skild från noll.

av en 2 × 2-matris

det⁡[abcd]=ad−bc\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc
Vad gör formeln?
Avgör inverterbarhet och orienterad areaskala i två dimensioner.
När får den användas?
Matrisen är kvadratisk.

Invers av en 2 × 2-matris

[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}
Vad gör formeln?
Snabb formel för inversen till en 2 × 2-matris.
När får den användas?
ad − bc måste vara skild från noll.

Kofaktorutveckling

det⁡A=∑jaij(−1)i+jdet⁡Aij\det A=\sum_j a_{ij}(-1)^{i+j}\det A_{ij}
Vad gör formeln?
Beräknar rekursivt med minorer och teckenfaktorer.
När får den användas?
Utvecklingen kan göras längs valfri rad eller kolonn.

Matrisprodukt

(AB)ij=∑kaikbkj(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}
Vad gör formeln?
Varje post fås som mellan en rad i A och en kolonn i B.
När får den användas?
Antalet kolonner i A måste vara lika med antalet rader i B.

av en produkt

det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det(AB)=\det(A)\det(B)
Vad gör formeln?
Gör determinantberäkningar för produkter och inverser snabba.
När får den användas?
A och B är kvadratiska matriser av samma storlek.

Determinantens räkneregler

det⁡(AT)=det⁡A,det⁡(cA)=cndet⁡A,det⁡(A−1)=1det⁡A\det(A^{\mathsf T})=\det A,\qquad\det(cA)=c^{n}\det A,\qquad\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}
Vad gör formeln?
Låter uttryck som det(AB^3A^{-1}B^{-1}) förenklas utan att någon matris multipliceras ihop.
När får den användas?
A är n × n och där inversen används. Radbyte byter tecken på , multiplikation av en rad med c multiplicerar den med c, och addition av en multipel av en rad till en annan lämnar den oförändrad. För en triangulär matris är produkten av diagonalelementen.

Hänger ihop med

Kan du använda matriser och determinanter?

Lös en riktig tentauppgift från SF1624 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift