Diagonalisering och kvadratiska former

Diagonaliserbarhet, matrispotenser, ortogonal diagonalisering av symmetriska matriser och kvadratiska former på huvudaxelform. Formlerna nedan är redaktionellt sammanställda från kursens modulunderlag och återkommande tentamensmetoder.

Egenvektorerna bildar kolonnerna i P och egenvärdena står i samma ordning på diagonalen i D.

$$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}=PDP^{-1},\quad P=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}$$

En n×n-matris är diagonaliserbar när den har n linjärt oberoende egenvektorer; n olika egenvärden räcker, men upprepade egenvärden fungerar också om egenrummens dimensioner är tillräckliga. Vid $A = PDP$⁻¹ ligger egenvektorerna som kolonner i P i samma ordning som motsvarande egenvärden i D, och byter man ordning i den ena måste man byta i den andra. Diagonaliseringen gör matrispotenser billiga, eftersom $A^{k} = PD^{kP}$⁻¹ och $D^{k}$ bara är diagonalelementen upphöjda till k. Spektralsatsen ger en ortogonal diagonalisering $A = QDQ^{T}$ endast för reella symmetriska matriser, och då kan Q väljas med ortonormala kolonner så att inversen är transponatet. I en kvadratisk form $q(x) = x^{TAx}$ tas A symmetrisk, vilket betyder att korstermen 2a_ij x_i x_j delas lika mellan a_ij och a_ji innan egenvärdena beräknas.