Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
6. Diagonalisering och abstrakta vektorrum

Koordinater och basbyte

Koordinater i en ordnad och mellan två baser.

Översikt

Formler och tentametoder

Koordinater med avseende på en ordnad och mellan två baser. Formlerna nedan är redaktionellt sammanställda från kursens modulunderlag och återkommande tentamensmetoder.

Exempel

Genomräknat exempel

Skriv x som en linjärkombination av basvektorerna. Koefficienterna blir koordinatvektorn i basen B.

B=((1,0),(1,1)),(3,2)=1(1,0)+2(1,1)⟹[(3,2)]B=[12]B=((1,0),(1,1)),\quad (3,2)=1(1,0)+2(1,1)\Longrightarrow[(3,2)]_B=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

En ska både spänna upp rummet och vara , och den är ordnad: byter två plats byter motsvarande koordinater plats. Koordinatvektorn [x]_B består av koefficienterna i basen B, inte av x:s standardkoordinater. Basbytesmatrisen från B-koordinater till standardkoordinater har basvektorerna som kolonner; omvänd riktning kräver dess invers, vilket är den vanligaste källan till ett bortglömt matrisinvers i uträkningen. Vid byte mellan två icke-standardbaser går vägen via standardkoordinaterna, alltså [x]C=PC_{C} = P_{C}⁻¹P_B[x]_B. Ange alltid vilken koordinaterna avser, eftersom samma talpar betyder olika i olika baser.

Samma vektor i en annan bas

I basen B=(u,v) för planet W har x koordinaterna [x]_B=(4,1), eftersom x=4u+v.

I planet W=span{u,v} visas u=(1,2,0), v=(−1,1,2) och x=4u+v=(3,9,2); koordinatvektorn i den ordnade basen (u,v) är (4,1).

Laddar figur…

Formler i området

Koordinater i en

x=PB[x]B,[x]B=PB−1xx=P_B[x]_B,\qquad [x]_B=P_B^{-1}x
Vad gör formeln?
Översätter mellan standardkoordinater och koordinater i basen B.
När får den användas?
B=(b_1,…,b_n) är en och P_B=[b_1 ⋯ b_n].

från B till C

[x]C=PC−1PB[x]B[x]_C=P_C^{-1}P_B[x]_B
Vad gör formeln?
Byter koordinatvektor utan att ändra den geometriska .
När får den användas?
B och C är baser för samma ändligdimensionella vektorrum.

Hänger ihop med

Kan du använda koordinater och basbyte?

Lös en riktig tentauppgift från SF1624 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift