Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
1. Vektorer, linjer och plan

Vektorgeometri

, , , linjer, plan, areor och avstånd.

Översikt

Formler och tentametoder

, , , linjer, plan, areor och avstånd. Formlerna nedan är redaktionellt sammanställda från kursens modulunderlag och återkommande tentamensmetoder.

Exempel

Genomräknat exempel

av u = (1,2,3) på x-axelns riktningsvektor v = (1,0,0) blir (1,0,0). Resten (0,2,3) är mot v.

proj⁡(1,0,0)(1,2,3)=(1,0,0)\operatorname{proj}_{(1,0,0)}(1,2,3)=(1,0,0)

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

kräver att vektorerna ligger i samma euklidiska rum. För på en måste riktningsvektorn vara nollskild; på ett plan görs i stället genom att ta bort komponenten i normalens riktning. finns bara i R³ och dess norm ger area, medan tecknet och riktningen bestäms av högerhandsregeln. Vid punkt–plan-avstånd ska normalen hämtas från planets koefficienter och absolutbeloppet tas först efter insättning. Kontrollera svaret geometriskt: den resten ska ha noll med projektionsriktningen, och ett avstånd kan aldrig vara negativt.

Projektion på ett plan

Vektorn delas i en komponent i planet och en ortogonal komponent parallell med normalen. Rotera figuren och jämför de två delarna.

För vektorn v=(2,1,2) och normalen n=(1,−2,1) visas projektionen på planet n·x=0: (5/3,5/3,5/3), samt den ortogonala komponenten (1/3,−2/3,1/3).

Laddar figur…

Kryssprodukt, area och punkt–plan-avstånd

Vektorerna spänner upp en parallellogram med area 7. Normalpilen visar kryssproduktens riktning och är skalad för att rymmas i figuren; samma normalriktning används vid punkt–plan-avstånd.

Vektorerna u=(3,0,1) och v=(0,2,1) spänner upp en parallellogram. u×v=(−2,−3,6), arean är 7 och punkten (2,2,4) har avstånd 2 till planet genom origo.

Laddar figur…

Formler i området

och vinkel

u⋅v=∑i=1nuivi,cos⁡θ=u⋅v∥u∥∥v∥u\cdot v=\sum_{i=1}^{n}u_iv_i,\qquad \cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}
Vad gör formeln?
Beräknar och vinkeln mellan två .
När får den användas?
Vinkelformeln kräver u ≠ 0 och v ≠ 0.

på en

proj⁡vu=u⋅vv⋅vv\operatorname{proj}_v u=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}v
Vad gör formeln?
Delar upp u i en komponent parallell med v och en komponent mot v.
När får den användas?
Riktningsvektorn v måste vara skild från noll.

och area

u×v=[u2v3−u3v2u3v1−u1v3u1v2−u2v1],A=∥u×v∥u\times v=\begin{bmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1\end{bmatrix},\qquad A=\|u\times v\|
Vad gör formeln?
Ger en normalvektor och parallellogrammets area.
När får den användas?
Formeln gäller i R^3; triangelarean är A/2.

Trippelprodukt och volym

V=∣u⋅(v×w)∣=∣det⁡[u v w]∣V=\left|u\cdot(v\times w)\right|=\left|\det[u\ v\ w]\right|
Vad gör formeln?
Beräknar parallellepipedens volym och testar koplanaritet.
När får den användas?
Vektorerna u, v och w ligger i R^3.

Linjens parameterform

ℓ: (x,y,z)=(p1,p2,p3)+t(v1,v2,v3),t∈R\ell:\ (x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+t(v_1,v_2,v_3),\qquad t\in\mathbb R
Vad gör formeln?
Beskriver samtliga punkter på en linje med en enda parameter.
När får den användas?
p är en punkt på linjen och v är en riktningsvektor skild från nollvektorn. Genom två punkter P och Q fås riktningsvektorn som v = Q − P.

Planets ekvation

n⋅(x−p)=0⟺ax+by+cz=d,n=(a,b,c), d=n⋅pn\cdot(x-p)=0\quad\Longleftrightarrow\quad ax+by+cz=d,\qquad n=(a,b,c),\ d=n\cdot p
Vad gör formeln?
Översätter mellan normalvektor, punkt i planet och skalär ekvation.
När får den användas?
n är en normalvektor skild från nollvektorn och p en punkt i planet. Genom tre punkter fås n som av två riktningsvektorer i planet.

Avstånd från punkt till plan

d(q,Π)=∣n⋅(q−p)∣∥n∥d(q,\Pi)=\frac{|n\cdot(q-p)|}{\|n\|}
Vad gör formeln?
Ger det vinkelräta avståndet från punkten q till planet.
När får den användas?
Planet skrivs n · (x − p) = 0 med n ≠ 0.

Hänger ihop med

Kan du använda vektorgeometri?

Lös en riktig tentauppgift från SF1624 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift