Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
4. Egenvärden och linjära avbildningar

Linjära avbildningar

Standardmatriser, sammansättning, , och geometriska avbildningar.

Översikt

Formler och tentametoder

Standardmatriser, sammansättning, , och geometriska avbildningar. Formlerna nedan är redaktionellt sammanställda från kursens modulunderlag och återkommande tentamensmetoder.

Exempel

Genomräknat exempel

Bilderna av standardbasvektorerna placeras som kolonner och ger avbildningens standardmatris.

T(x,y)=(x+y,2y)⟹A=[1102]T(x,y)=(x+y,2y)\Longrightarrow A=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

En avbildning är linjär precis när den bevarar addition och skalärmultiplikation; translationer är därför inte linjära om translationsvektorn är nollskild. Standardmatrisens kolonn j är T(e_j), och för en sammansättning T efter S multipliceras matriserna i ordningen [T][S]. hittas ur Ax=0Ax = 0 och som spannet av pivotkolonnerna i den ursprungliga matrisen. Projektioner uppfyller P² = P, speglingar S² = I och rotationer bevarar längder, vilket ger snabba rimlighetskontroller. Blanda inte ihop matrisen för avbildningen med matrisen efter ett .

Hur en matris deformerar planet

Standardbasens bilder är matrisens kolonner. Följ hur enhetskvadraten sträcks och skjuvas av avbildningen.

Interaktiv tvådimensionell figur som visar standardbasvektorer och enhetskvadrat före och efter en linjär avbildning.

Laddar figur…

Formler i området

Standardmatris för en

A=[ T(e1) T(e2) ⋯ T(en) ],T(x)=AxA=[\,T(e_1)\ T(e_2)\ \cdots\ T(e_n)\,],\qquad T(x)=Ax
Vad gör formeln?
Matrisens kolonner är standardbasvektorernas bilder.
När får den användas?
T går från R^n till R^m och är linjär.

Sammansättning av

[T∘S]=[T][S][T\circ S]=[T][S]
Vad gör formeln?
Representerar en sammansatt avbildning med en matrisprodukt.
När får den användas?
Den högra matrisen verkar först och dimensionerna måste vara kompatibla.

Projektionsmatris på en linje

P=uuTuTuP=\frac{uu^T}{u^Tu}
Vad gör formeln?
Ger standardmatrisen för på en linje.
När får den användas?
u ≠ 0 och linjen är span{u}.

Rotationsmatris i planet

Rθ=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}
Vad gör formeln?
Roterar i R^2 utan att ändra längd eller vinkel.
När får den användas?
Positiv θ betyder moturs rotation i en positivt orienterad standardbas.

Hänger ihop med

Kan du använda linjära avbildningar?

Lös en riktig tentauppgift från SF1624 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift