Egenvärden och egenvektorer

Karakteristisk ekvation, egenvärden och egenrum. Formlerna nedan är redaktionellt sammanställda från kursens modulunderlag och återkommande tentamensmetoder.

För en diagonal matris syns egenvärdena direkt på diagonalen och standardbasvektorerna är egenvektorer.

$$A=\begin{bmatrix}2&0\\0&-1\end{bmatrix}\Longrightarrow Ae_1=2e_1,\quad Ae_2=-e_2$$

Egenvärdena är rötterna till $det(A − λI) = 0,$ men egenvektorerna måste därefter hämtas ur ker(A − λI) och får inte vara nollvektorn. Rötternas antal räknas med algebraisk multiplicitet, medan egenrummets dimension är den geometriska multipliciteten; den senare är aldrig större än den förra, och skillnaden mellan dem avgör senare om matrisen går att diagonalisera. Ett egenvärde kan mycket väl vara noll — då är matrisen singulär och egenrummet sammanfaller med nollrummet — men en egenvektor är per definition skild från nollvektorn. Verifiera ett beräknat egenpar direkt med Av = λv.