Formelsamling för Flervariabelanalys

x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta

Vad gör formeln?: Byter från x och y till radie och vinkel, med areaelementet r dr dθ.
När får den användas?: r ≥ 0 och vinkelintervallet ska täcka området exakt en gång. Faktorn r i areaelementet måste alltid följa med vid integration.

Enodas sammanfattning

x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz

Vad gör formeln?: med höjden z kvar, och volymelementet r dr dθ dz.
När får den användas?: r ≥ 0 och kroppen ska täckas exakt en gång. Faktorn r är koordinatbytets .

Enodas sammanfattning

\begin{aligned}x&=R\sin\phi\cos\theta,\quad y=R\sin\phi\sin\theta,\quad z=R\cos\phi,\\dV&=R^2\sin\phi\,dR\,d\phi\,d\theta.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Radie och två vinklar beskriver rummet, med volymelementet R² sin φ dR dφ dθ.
När får den användas?: R ≥ 0 och 0 ≤ φ ≤ π, där φ mäts från positiva z-axeln. Kontrollera vilken vinkelkonvention uppgiften använder innan gränserna sätts.

Enodas sammanfattning

Öppen boll

B_r(a)=\{x\in\mathbb R^n:\|x-a\|<r\}

Vad gör formeln?: Alla punkter vars avstånd till a är mindre än r.
När får den användas?: Centrum a och radie r > 0.

Enodas sammanfattning

Inre, yttre, , öppet och slutet

\begin{aligned}a\in D^\circ&\iff \exists r>0:B_r(a)\subset D,\\a\in(D^c)^\circ&\iff \exists r>0:B_r(a)\subset D^c,\\a\in\partial D&\iff B_r(a)\cap D\ne\varnothing\;\text{och}\;B_r(a)\cap D^c\ne\varnothing\;\forall r>0,\\D\;\text{öppen}&\iff D=D^\circ,\qquad D\;\text{sluten}\iff\partial D\subset D.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Topologiska grundbegrepp för områden och existenssatser.
När får den användas?: För delmängder av R^n.

Enodas sammanfattning

Begränsad och

D\;\text{begränsad}\iff\exists R>0:D\subset B_R(0),\qquad D\;\text{kompakt}\iff D\;\text{är sluten och begränsad}

Vad gör formeln?: är nyckelvillkoret bakom Weierstrass sats.
När får den användas?: Heine–Borels karakterisering i ändligdimensionella euklidiska rum.

Enodas sammanfattning

Andragradsytor i standardform

\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}&=1\quad\text{(ellipsoid)},\\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}&=1\quad\text{(enmantlad hyperboloid)},\\z&=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\quad\text{(paraboloid)}.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Tecknen på kvadrattermerna och den saknade variabeln avgör vilken standardyta ekvationen beskriver.
När får den användas?: a, b och c är positiva. Saknas en variabel helt beskriver ekvationen en cylinder med den axeln som generatris.

Enodas sammanfattning

Parametrisk kurva och kinematik

\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t)),\quad \mathbf v=\mathbf r',\quad v=\|\mathbf r'\|,\quad \mathbf a=\mathbf r''

Vad gör formeln?: , hastighet, fart och acceleration.
När får den användas?: Kurvan ska vara tillräckligt deriverbar.

Enodas sammanfattning

Båglängd

L=\int_a^b\|\mathbf r'(t)\|\,dt

Vad gör formeln?: Summerar kurvans infinitesimala längdelement.
När får den användas?: Kurvan är styckvis glatt och genomlöps en gång.

Enodas sammanfattning

Linjeintegral av

\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|\,dt

Vad gör formeln?: Väger ett längs en kurva.
När får den användas?: C av r(t), a ≤ t ≤ b.

Enodas sammanfattning

Linjesegmentets

\mathbf r(t)=\mathbf a+t(\mathbf b-\mathbf a),\qquad 0\le t\le1

Vad gör formeln?: Standardparametrisering för en rak linje.
När får den användas?: Det orienterade segmentet går från a till b.

Enodas sammanfattning

och

f(x,y)=c,\qquad f(x,y,z)=c

Vad gör formeln?: Punkter där funktionen har samma värde.
När får den användas?: c är ett konstant funktionsvärde.

Enodas sammanfattning

i flera variabler

\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\;0<\|x-a\|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon

Vad gör formeln?: Epsilon–delta-definitionen i flera variabler.
När får den användas?: Samma L måste erhållas längs alla vägar mot a.

Enodas sammanfattning

f\;\text{är kontinuerlig i }a\iff\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Vad gör formeln?: överensstämmer med funktionsvärdet.
När får den användas?: Funktionen måste vara definierad i a.

Enodas sammanfattning

Visa att ett saknas

\lim_{t\to0}f(\gamma_1(t))\ne\lim_{t\to0}f(\gamma_2(t))\ \Rightarrow\ \lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\ \text{saknas}

Vad gör formeln?: Två vägar med olika räcker för att inte ska existera.
När får den användas?: Båda vägarna ska gå mot samma punkt och ligga i definitionsmängden. Att många vägar ger samma värde bevisar däremot ingenting.

Enodas sammanfattning

Linjarisering

\begin{aligned}f_x(x,y)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\\f_y(x,y)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Mäter förändringen i en koordinatriktning i taget.
När får den användas?: Håll övriga variabler konstanta. Kursen växlar mellan skrivsätten f_x, ∂f/∂x och f_1 för samma derivata.

Enodas sammanfattning

\nabla f=(f_x,f_y,f_z)

Vad gör formeln?: När inte är noll pekar dess normaliserade riktning mot snabbast ökning.
När får den användas?: För deriverbara .

Enodas sammanfattning

D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u,\qquad \|\mathbf u\|=1

Vad gör formeln?: Mäter förändring längs en given riktning.
När får den användas?: f ska vara i punkten och riktningen u måste vara enhetslång.

Enodas sammanfattning

och

L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b),\qquad z=L(x,y)

Vad gör formeln?: Samma uttryck är både ytans och funktionens bästa linjära approximation.
När får den användas?: f ska vara i (a,b), och uttrycket används bara som lokal approximation nära punkten.

Enodas sammanfattning

J_F=\frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}

Vad gör formeln?: Samlar alla första .
När får den användas?: För vektorvärda funktioner.

Enodas sammanfattning

Likhet för blandade derivator

f_{xy}=f_{yx}

Vad gör formeln?: Clairauts sats låter derivationsordningen bytas.
När får den användas?: De blandade andraderivatorna är kontinuerliga i en omgivning.

Enodas sammanfattning

och dess följder

\begin{aligned}&\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)h-f_y(a,b)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\\&\Rightarrow f\ \text{kontinuerlig},\quad D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Felet i är litet jämfört med steglängden, vilket ger både och .
När får den användas?: Att de partiella derivatorna bara existerar räcker inte. Kontinuerliga f_x och f_y i en omgivning räcker däremot för .

Enodas sammanfattning

med

F(\mathbf a+\mathbf h)=F(\mathbf a)+J_F(\mathbf a)\mathbf h+o(\|\mathbf h\|)

Vad gör formeln?: Vektorformen av första ordningens approximation, med som derivata.
När får den användas?: F ska vara i a. Resttermen o(||h||) blir försumbar jämfört med ||h|| när h går mot noll.

Enodas sammanfattning

längs en kurva

\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=f_x\,x'(t)+f_y\,y'(t)=\nabla f\cdot\mathbf r'(t)

Vad gör formeln?: Deriverar en sammansatt funktion längs en väg.
När får den användas?: f och kurvan ska vara deriverbara.

Enodas sammanfattning

med två parametrar

\begin{aligned}z_s&=f_x\,x_s+f_y\,y_s,\\z_t&=f_x\,x_t+f_y\,y_t.\end{aligned}

Vad gör formeln?: efter ett .
När får den användas?: z=f(x(s,t),y(s,t)); alla funktioner är deriverbara.

Enodas sammanfattning

Kurvintegraler genom falt

genom fält

\begin{aligned}\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r&=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt\\&=\int_CP\,dx+Q\,dy+R\,dz.\end{aligned}

Vad gör formeln?: som fältet utför längs en kurva, i vektorform eller komponent för komponent.
När får den användas?: C från a till b i rätt färdriktning; avgör integralens tecken.

Enodas sammanfattning

Potentialteoremet

\begin{aligned}\mathbf F=\nabla\phi\ \Rightarrow\ \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r&=\phi(B)-\phi(A),\\\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r&=0.\end{aligned}

Vad gör formeln?: av ett gradientfält beror bara på ändpunkterna, och blir noll runt varje sluten kurva.
När får den användas?: F ska vara ett gradientfält på ett område som innehåller hela C, och A respektive B är kurvans orienterade start- och slutpunkt.

Enodas sammanfattning

\mathbf F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

Vad gör formeln?: Tilldelar varje punkt en vektor.
När får den användas?: Komponenterna är på samma definitionsmängd.

Enodas sammanfattning

Konservativitetskriterium i planet

P_y=Q_x

Vad gör formeln?: Noll karakteriserar under rätt villkor.
När får den användas?: På ett med deriverbara P och Q.

Enodas sammanfattning

Ekvivalenta tecken på konservativitet

\text{På enkelt sammanhängande }\Omega:\quad\mathbf F=\nabla\phi\iff\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r\ \text{vägoberoende}\iff\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=0

Vad gör formeln?: Tre sätt att känna igen ett , och villkoret på området som binder ihop dem.
När får den användas?: Ω ska vara vägsammanhängande, och krävs för att ett lokalt rotationsvillkor ska ge en global . Områdets hål är avgörande.

Enodas sammanfattning

av två

\begin{aligned}T_2={}&f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\\&+\frac12\left(f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2\right).\end{aligned}

Vad gör formeln?: Lokal lutning och krökning ger en kvadratisk approximation.
När får den användas?: f ska vara C² nära (a,b); h=x-a och k=y-b.

Enodas sammanfattning

av n

T_n(a+h)=\sum_{|\alpha|\le n}\frac{D^\alpha f(a)}{\alpha!}h^\alpha

Vad gör formeln?: Multiindexformen samlar alla termer upp till total n.
När får den användas?: f ska vara tillräckligt många gånger deriverbar nära a för den önskade resttermskontrollen.

Enodas sammanfattning

Kvadratisk form och kvadratkomplettering

Q(h,k)=Ah^2+2Bhk+Ck^2=A\left(h+\frac{B}{A}k\right)^2+\frac{AC-B^2}{A}k^2

Vad gör formeln?: Kvadratkomplettering visar direkt om formen är positivt definit, negativt definit eller indefinit.
När får den användas?: Kvadratkompletteringen förutsätter A ≠ 0; är A = 0 byts rollerna mellan h och k, eller bryts korstermen ut.

Enodas sammanfattning

Optimering

och andraderivatatestet

A=f_{xx},\ B=f_{xy},\ C=f_{yy},\quad H_f=\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix},\qquad\begin{cases}B^2-AC<0,\ A>0&\Rightarrow\text{lokalt minimum},\\B^2-AC<0,\ A<0&\Rightarrow\text{lokalt maximum},\\B^2-AC>0&\Rightarrow\text{sadelpunkt},\\B^2-AC=0&\Rightarrow\text{inget svar}.\end{cases}

Vad gör formeln?: Andraderivatorna bildar , och tecknet på B²−AC klassificerar den kritiska punkten.
När får den användas?: Punkten ska vara kritisk och f vara C² i en omgivning, vilket också ger f_xy = f_yx. Kursen formulerar testet som Sats 2 med storheten B²−AC.

Enodas sammanfattning

Lagranges multiplikatormetod

\begin{aligned}\nabla f&=\lambda\nabla g,\quad g=0,\\L(x,y,\lambda)&=f(x,y)+\lambda g(x,y),\quad\nabla_{x,y,\lambda}L=0.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Gradienterna är parallella i ett extremvärde med , vilket också kan skrivas som ett kritisk-punkt-villkor för L.
När får den användas?: g = 0 ska vara glatt och punkten reguljär med ∇g ≠ 0. Kursens Sats 3 formulerar metoden med Lagrangefunktionen L.

Enodas sammanfattning

Extremvärdessatsen

D\ \text{kompakt},\ f\ \text{kontinuerlig på }D\ \Rightarrow\ f\ \text{antar både ett största och ett minsta värde på }D

Vad gör formeln?: Kursens Sats 1 i Modul IV: och garanterar att extremvärdena finns.
När får den användas?: D ska vara både sluten och begränsad, och f på hela D. Satsen ger existens men pekar inte ut punkterna.

Enodas sammanfattning

Lokala och

\begin{aligned}f(a)\ge f(x)\;\forall x\in D&\Rightarrow a\;\text{är global maximipunkt},\\f(a)\ge f(x)\;\forall x\in D\cap B_r(a)&\Rightarrow a\;\text{är lokal maximipunkt}.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Global jämförelse gäller hela området, lokal jämförelse bara en omgivning.
När får den användas?: Vänd olikheterna för minimipunkter.

Enodas sammanfattning

Kandidater till

\nabla f=0\quad\text{eller}\quad f\;\text{ej deriverbar},\qquad \text{samt punkter på }\partial D

Vad gör formeln?: Kontrollera kritiska och singulära punkter samt hela .
När får den användas?: En funktion på en antar max och min.

Enodas sammanfattning

Optimering på en

\mathbf r(t)=(x(t),y(t)),\qquad g(t)=f(\mathbf r(t)),\qquad g'(t)=0

Vad gör formeln?: Reducerar randproblemet till en variabel.
När får den användas?: Täck hela randdelen och kontrollera ändpunkter.

Enodas sammanfattning

Implicita funktionssatsen

\det D_{(x,y)}(F,G)\ne0\Rightarrow x=x(u,v),\;y=y(u,v)

Vad gör formeln?: Ett icke-singulärt delsystem kan lösas ut unikt och lokalt.
När får den användas?: F och G är C¹-funktioner av (x,y,u,v), båda är noll i baspunkten och determinanten utvärderas där.

Enodas sammanfattning

Derivator av

\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}F_x&F_y\\G_x&G_y\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{pmatrix}

Vad gör formeln?: Ger derivatorna utan explicit lösning.
När får den användas?: Matriserna utvärderas i lösningspunkten.

Enodas sammanfattning

till implicit yta

F_x(a,b,c)(x-a)+F_y(a,b,c)(y-b)+F_z(a,b,c)(z-c)=0

Vad gör formeln?: är .
När får den användas?: F(a,b,c)=0 och ∇F(a,b,c) är inte noll.

Enodas sammanfattning

Hörn- och ändpunkter på

\partial D\ \text{styckvis slät}\Rightarrow\ \text{hörn och ändpunkter prövas separat, utöver }\nabla f=\lambda\nabla g

Vad gör formeln?: Där har hörn eller tar slut gäller inte Lagranges villkor, så punkterna måste prövas var för sig.
När får den användas?: Gäller när är styckvis slät, till exempel en polygon eller en som slutar i ändpunkter. I hörnen är inte deriverbar.

Enodas sammanfattning

Dubbelintegralen

\begin{aligned}\iint_Df(x,y)\,dA&=\lim_{\|P\|\to0}\sum_if(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i,\\\|P\|&=\max_i\operatorname{diam}(D_i).\end{aligned}

Vad gör formeln?: Gränsen av Riemannsummor över allt finare delområden, som summerar ett fält över area.
När får den användas?: ska vara oberoende av provpunkterna. I praktiken beräknas integralen som en efter en korrekt beskrivning av D.

Enodas sammanfattning

i två dimensioner

\begin{aligned}J&=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}=x_uy_v-x_vy_u,\\dA&=|J|\,du\,dv.\end{aligned}

Vad gör formeln?: mäter areaskalningen, och dess absolutbelopp ersätter dx dy.
När får den användas?: Transformationen ska vara deriverbar och lokalt inverterbar, och J får inte försvinna i områdets reguljära inre.

Enodas sammanfattning

\oint_{\partial D}(P\,dx+Q\,dy)=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA

Vad gör formeln?: Kopplar cirkulation runt en till i området.
När får den användas?: För enkel i planet.

Enodas sammanfattning

Enkla områden i planet

\begin{aligned}D&=\{(x,y):a\le x\le b,\;g(x)\le y\le h(x)\}\quad(y\text{-enkelt}),\\D&=\{(x,y):c\le y\le d,\;p(y)\le x\le q(y)\}\quad(x\text{-enkelt}).\end{aligned}

Vad gör formeln?: Områdets form avgör vilken som ger enkla gränser.
När får den användas?: Ett y-enkelt område skärs av varje lodrät linje i högst ett intervall, ett x-enkelt av varje vågrät linje.

Enodas sammanfattning

och ordningsbyte

\iint_Df\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{h(x)}f\,dy\,dx,\qquad\int_a^b\int_c^d f\,dy\,dx=\int_c^d\int_a^b f\,dx\,dy

Vad gör formeln?: Översätter till en , och tillåter ordningsbyte när villkoren gäller.
När får den användas?: f ska vara integrerbar och gränserna beskriva D exakt. På en rektangel kan ordningen bytas direkt; på andra områden måste gränserna räknas om.

Enodas sammanfattning

Area och volym

\operatorname{Area}(D)=\iint_D1\,dA,\qquad V=\iint_D f(x,y)\,dA

Vad gör formeln?: Konstant integrand ger area, en höjdfunktion ger volym.
När får den användas?: För volymformeln antas f ≥ 0.

Enodas sammanfattning

Symmetri i

f(-x,y)=-f(x,y),\;D\;\text{symmetriskt kring y-axeln}\Rightarrow\iint_Df\,dA=0

Vad gör formeln?: Udda bidrag tar ut varandra.
När får den användas?: Motsvarande regel gäller i andra variabler.

Enodas sammanfattning

Partiell integration

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx

Vad gör formeln?: Envariabelverktyg inuti .
När får den användas?: Välj u och v så att den nya integralen blir enklare.

Enodas sammanfattning

Integraler

över en reguljär kropp

\iiint_Kf\,dV=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx

Vad gör formeln?: Summerar ett fält över volym genom att bygga kroppen lager för lager.
När får den användas?: Gränserna ska beskriva K exakt en gång. Dela K i flera delar om en enda uppsättning gränser inte räcker.

Enodas sammanfattning

med normal och

\mathbf r(u,v),\quad\mathbf n=\mathbf r_u\times\mathbf r_v,\qquad dS=\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv

Vad gör formeln?: Två parametrar ger ytan, tangentvektorerna ger och normalens längd ger areaskalan.
När får den användas?: ska vara reguljär, det vill säga r_u × r_v ≠ 0, och täcka den önskade ytbiten exakt en gång.

Enodas sammanfattning

Volym och massa

V(K)=\iiint_K1\,dV,\qquad m=\iiint_K\rho(x,y,z)\,dV

Vad gör formeln?: Integralen av ett ger volymen, och integralen av ger massan.
När får den användas?: K är en mätbar kropp och ρ är volymdensitet i massa per volymenhet. Volymen är massan i det fall då är konstant lika med ett.

Enodas sammanfattning

(\bar x,\bar y,\bar z)=\frac1m\left(\iiint_Kx\rho\,dV,\iiint_Ky\rho\,dV,\iiint_Kz\rho\,dV\right)

Vad gör formeln?: Densitetsvägda koordinatmedelvärden.
När får den användas?: Massan m är positiv.

Enodas sammanfattning

i

\iiint_Kf\,dV=\iiint_{K'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|du\,dv\,dw

Vad gör formeln?: Byter kropp, integrand och volymelement, där 3×3-Jacobianen skalar volymen.
När får den användas?: Transformationen ska vara deriverbar, täcka K exakt en gång och ha en som inte försvinner i det reguljära inre.

Enodas sammanfattning

för en funktionsyta

z=g(x,y)\Rightarrow dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy

Vad gör formeln?: Lutningen förstorar det projicerade areaelementet.
När får den användas?: Ytan är en graf över xy-planet.

Enodas sammanfattning

av

\iint_S f\,dS=\iint_D f(\mathbf r(u,v))\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv

Vad gör formeln?: Summerar ett över en krökt yta.
När får den användas?: täcker S utan överlappning.

Enodas sammanfattning

Area av en buktig yta

A(S)=\iint_D\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv=\iint_{D}\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy

Vad gör formeln?: av funktionen ett ger ytans area.
När får den användas?: Första formen kräver en , den andra att ytan är grafen z = g(x,y) över sin projektion D.

Enodas sammanfattning

Vektorkalkyl

\begin{aligned}\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r&=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf N\,dS,\\\oint_{\partial S}P\,dx+Q\,dy+R\,dz&=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf N\,dS.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Cirkulationen längs är av genom ytan.
När får den användas?: S är en orienterad, styckvis slät yta vars genomlöps positivt i förhållande till N.

Enodas sammanfattning

\begin{aligned}\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS&=\iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV\\&=\iiint_V(P_x+Q_y+R_z)\,dV.\end{aligned}

Vad gör formeln?: Totalflödet ut genom randytan är volymintegralen av .
När får den användas?: V är en kropp med styckvis slät randyta och utåtriktad normal N, och F har deriverbara komponenter på hela V.

Enodas sammanfattning

Sluta en öppen yta för

\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS=\iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV-\iint_{S_0}\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS

Vad gör formeln?: Lägg till ett lock så att ytan blir sluten, använd och dra bort lockets .
När får den användas?: S tillsammans med locket S₀ ska vara hela den slutna randytan till kroppen V, med genomgående utåtriktad normal.

Enodas sammanfattning

\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z,\qquad\nabla\cdot\mathbf F\equiv0\Rightarrow\mathbf F\ \text{källfritt}

Vad gör formeln?: Mäter lokal nettoutströmning; identiskt noll betyder .
När får den användas?: F = (P,Q,R) har deriverbara komponenter. Källfrihet kräver att är identiskt noll på hela området, inte bara i en provpunkt.

Enodas sammanfattning

\nabla\times\mathbf F=\begin{pmatrix}R_y-Q_z\\P_z-R_x\\Q_x-P_y\end{pmatrix},\qquad\nabla\times\mathbf F\equiv\mathbf 0\Rightarrow\mathbf F\ \text{rotationsfritt}

Vad gör formeln?: Mäter lokal cirkulation; identiskt noll betyder .
När får den användas?: F = (P,Q,R) har deriverbara komponenter. Rotationsfrihet kräver att är identiskt noll, och områdets topologi avgör om en följer.

Enodas sammanfattning

\mathbf F=\nabla\times\mathbf A

Vad gör formeln?: Ett kan skrivas som en under rätt villkor.
När får den användas?: Global existens kräver lämpliga områdesvillkor och F=0.

Enodas sammanfattning

\Delta f=\nabla^2f=\nabla\cdot\nabla f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}

Vad gör formeln?: Summerar de rena andraderivatorna.
När får den användas?: I två variabler utelämnas z-termen.

Enodas sammanfattning

Flödesintegral

\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS

Vad gör formeln?: Summerar fältets normalkomponent genom ytan.
När får den användas?: Ytan är orienterad och vald konsekvent.

Enodas sammanfattning

av en yta

\mathbf N=\pm\frac{\mathbf r_u\times\mathbf r_v}{\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|}

Vad gör formeln?: Tecknet väljer ytans sida.
När får den användas?: Ett normalval krävs.

Enodas sammanfattning

via

\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS=\iint_D\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv

Vad gör formeln?: Kryssprodukten inkluderar normal och .
När får den användas?: Parameterordningen ger önskad .

Enodas sammanfattning

Stokes baklänges

\mathbf F=\nabla\times\mathbf A\Rightarrow\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf A\cdot d\mathbf r

Vad gör formeln?: Byter av ett rotationsfält mot en .
När får den användas?: Orienteringarna stämmer överens.

Enodas sammanfattning

Grundläggande vektoridentiteter