Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
5. Dubbelintegralen

Dubbelintegraler och variabelbyte

Översätt ett område till integrationsgränser och välj koordinater som gör integralen enkel.

Översikt

Integrera över ett område, inte bara över gränser

Beskriv först området med en skiss och välj sedan en ordning som ger enkla gränser. En adderar värdet i små .

∬Df(x,y) dA\iint_D f(x,y)\,dA

Exempel

Exempel: låt geometrin välja polära koordinater

Arean av skivan x²+y²≤4 fås genom att integrera 1. I är 0≤r≤2 och 0≤θ≤2π, och areaelementet måste vara r dr dθ.

∬D1 dA=∫02π∫02r dr dθ=4π\iint_D 1\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^2 r\,dr\,d\theta=4\pi

och Jacobifaktorn r används tillsammans: utan r blir både dimensionen och svaret fel.

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Kontrollera alltid antaganden, och skalfaktorer. Koppla sedan vidare till de relaterade ämnena när metoden inte räcker ensam.

Ett integrandområde i planet

Det skuggade området är det som dubbelintegralen summerar över.

En skuggad kvartsellips med nivåer för funktionen x gånger y.

Laddar figur…

Formler i området

∬Df(x,y) dA=lim⁡∥P∥→0∑if(ξi,ηi)ΔAi,∥P∥=max⁡idiam⁡(Di).\begin{aligned}\iint_Df(x,y)\,dA&=\lim_{\|P\|\to0}\sum_if(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i,\\\|P\|&=\max_i\operatorname{diam}(D_i).\end{aligned}
Vad gör formeln?
Gränsen av Riemannsummor över allt finare delområden, som summerar ett fält över area.
När får den användas?
ska vara oberoende av provpunkterna. I praktiken beräknas integralen som en efter en korrekt beskrivning av D.

i två dimensioner

J=∂(x,y)∂(u,v)=∣xuxvyuyv∣=xuyv−xvyu,dA=∣J∣ du dv.\begin{aligned}J&=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}=x_uy_v-x_vy_u,\\dA&=|J|\,du\,dv.\end{aligned}
Vad gör formeln?
mäter areaskalningen, och dess absolutbelopp ersätter dx dy.
När får den användas?
Transformationen ska vara deriverbar och lokalt inverterbar, och J får inte försvinna i områdets reguljära inre.

∮∂D(P dx+Q dy)=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA\oint_{\partial D}(P\,dx+Q\,dy)=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA
Vad gör formeln?
Kopplar cirkulation runt en till i området.
När får den användas?
För enkel i planet.

Enkla områden i planet

D={(x,y):a≤x≤b,  g(x)≤y≤h(x)}(y-enkelt),D={(x,y):c≤y≤d,  p(y)≤x≤q(y)}(x-enkelt).\begin{aligned}D&=\{(x,y):a\le x\le b,\;g(x)\le y\le h(x)\}\quad(y\text{-enkelt}),\\D&=\{(x,y):c\le y\le d,\;p(y)\le x\le q(y)\}\quad(x\text{-enkelt}).\end{aligned}
Vad gör formeln?
Områdets form avgör vilken som ger enkla gränser.
När får den användas?
Ett y-enkelt område skärs av varje lodrät linje i högst ett intervall, ett x-enkelt av varje vågrät linje.

och ordningsbyte

∬Df dA=∫ab∫g(x)h(x)f dy dx,∫ab∫cdf dy dx=∫cd∫abf dx dy\iint_Df\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{h(x)}f\,dy\,dx,\qquad\int_a^b\int_c^d f\,dy\,dx=\int_c^d\int_a^b f\,dx\,dy
Vad gör formeln?
Översätter till en , och tillåter ordningsbyte när villkoren gäller.
När får den användas?
f ska vara integrerbar och gränserna beskriva D exakt. På en rektangel kan ordningen bytas direkt; på andra områden måste gränserna räknas om.

Area och volym

Area⁡(D)=∬D1 dA,V=∬Df(x,y) dA\operatorname{Area}(D)=\iint_D1\,dA,\qquad V=\iint_D f(x,y)\,dA
Vad gör formeln?
Konstant integrand ger area, en höjdfunktion ger volym.
När får den användas?
För volymformeln antas f ≥ 0.

Symmetri i

f(−x,y)=−f(x,y),  D  symmetriskt kring y-axeln⇒∬Df dA=0f(-x,y)=-f(x,y),\;D\;\text{symmetriskt kring y-axeln}\Rightarrow\iint_Df\,dA=0
Vad gör formeln?
Udda bidrag tar ut varandra.
När får den användas?
Motsvarande regel gäller i andra variabler.

Partiell integration

∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx
Vad gör formeln?
Envariabelverktyg inuti .
När får den användas?
Välj u och v så att den nya integralen blir enklare.

Hänger ihop med

Kan du använda dubbelintegraler och variabelbyte?

Lös en riktig tentauppgift från SF1626 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift