3. Kurvintegraler genom falt

Kurvintegraler och potentialfält

Beräkna längs kurvor och avgör när en gör vägen oviktig.

Översikt

Summera fältets arbete längs en väg

kurvan och låt fältet möta kurvans tangent. Resultatet tolkar vi ofta som .

$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$

Exempel

Exempel: parametrisera först, integrera sedan

Låt F(x,y)=(y,x) och låt C ges av r(t)=(t,t²), 0≤t≤1. Då är F(r(t))=(t²,t) och r'(t)=(1,2t). Skalärprodukten blir 3t². Om fältet har en kan potentialteoremet ersätta hela parametriseringssteget.

$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^1 3t^2\,dt=1$

Direkt fungerar alltid när kurvan är reguljär; potentialteoremet är snabbare men kräver ett .

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Kontrollera alltid antaganden, och skalfaktorer. Koppla sedan vidare till de relaterade ämnena när metoden inte räcker ensam.

Vektorfält längs en parametriserad kurva

Fältets pilar visar vilken del av rörelsen som bidrar till arbetet.

Laddar figur…

Formler i området

genom fält

\begin{aligned}\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r&=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt\\&=\int_CP\,dx+Q\,dy+R\,dz.\end{aligned}

Vad gör formeln?: som fältet utför längs en kurva, i vektorform eller komponent för komponent.
När får den användas?: C från a till b i rätt färdriktning; avgör integralens tecken.

Potentialteoremet

\begin{aligned}\mathbf F=\nabla\phi\ \Rightarrow\ \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r&=\phi(B)-\phi(A),\\\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r&=0.\end{aligned}

Vad gör formeln?: av ett gradientfält beror bara på ändpunkterna, och blir noll runt varje sluten kurva.
När får den användas?: F ska vara ett gradientfält på ett område som innehåller hela C, och A respektive B är kurvans orienterade start- och slutpunkt.

\mathbf F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

Vad gör formeln?: Tilldelar varje punkt en vektor.
När får den användas?: Komponenterna är på samma definitionsmängd.

Konservativitetskriterium i planet

P_y=Q_x

Vad gör formeln?: Noll karakteriserar under rätt villkor.
När får den användas?: På ett med deriverbara P och Q.

Ekvivalenta tecken på konservativitet

\text{På enkelt sammanhängande }\Omega:\quad\mathbf F=\nabla\phi\iff\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r\ \text{vägoberoende}\iff\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=0

Vad gör formeln?: Tre sätt att känna igen ett , och villkoret på området som binder ihop dem.
När får den användas?: Ω ska vara vägsammanhängande, och krävs för att ett lokalt rotationsvillkor ska ge en global . Områdets hål är avgörande.

av två

\begin{aligned}T_2={}&f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\\&+\frac12\left(f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2\right).\end{aligned}

Vad gör formeln?: Lokal lutning och krökning ger en kvadratisk approximation.
När får den användas?: f ska vara C² nära (a,b); h=x-a och k=y-b.

av n

T_n(a+h)=\sum_{|\alpha|\le n}\frac{D^\alpha f(a)}{\alpha!}h^\alpha

Vad gör formeln?: Multiindexformen samlar alla termer upp till total n.
När får den användas?: f ska vara tillräckligt många gånger deriverbar nära a för den önskade resttermskontrollen.

Kvadratisk form och kvadratkomplettering

Q(h,k)=Ah^2+2Bhk+Ck^2=A\left(h+\frac{B}{A}k\right)^2+\frac{AC-B^2}{A}k^2

Vad gör formeln?: Kvadratkomplettering visar direkt om formen är positivt definit, negativt definit eller indefinit.
När får den användas?: Kvadratkompletteringen förutsätter A ≠ 0; är A = 0 byts rollerna mellan h och k, eller bryts korstermen ut.

Hänger ihop med

Fördjupa

Gauss och Stokes satserKoppla samman lokala derivator med cirkulation och flöde genom hela områden.

Förkunskap

Gradient, linjärisering och tangentplanBeskriv en funktions lokala förändring med partiella derivator och gradient.

Kan du använda kurvintegraler och potentialfält?

Lös en riktig tentauppgift från SF1626 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift