Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
1. Funktioner

Koordinatsystem och nivåkurvor

Byt perspektiv mellan kartesiska, polära, cylindriska och .

Översikt

Välj koordinater som följer geometrin

beskriver punkter med avstånd och vinkel. Det gör cirklar och sektorer enklare att beskriva än i kartesiska koordinater.

I planet gäller x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.

Exempel

Exempel: parametrisera en cirkelbåge

Den övre högra fjärdedelen av cirkeln x²+y²=4 går från (2,0) till (0,2). Radien är 2 och vinkeln går därför från 0 till π/2. Kontrollera alltid ändpunkterna: t=0 ger (2,0) och t=π/2 ger (0,2).

r(t)=(2cos⁡t,2sin⁡t),0≤t≤π2\mathbf r(t)=(2\cos t,2\sin t),\qquad 0\le t\le\frac{\pi}{2}

Intervallet för parametern är en del av svaret: samma formel med 0≤t≤2π beskriver hela cirkeln.

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Kontrollera alltid antaganden, och skalfaktorer. Koppla sedan vidare till de relaterade ämnena när metoden inte räcker ensam.

En sfärisk yta i sina naturliga koordinater

Vrid figuren: ρ är avståndet OP, φ mäts från z-axeln och θ i xy-planet.

En sfär med markerad radie, projektion och vinkelbågar för sfäriska koordinater.

Laddar figur…

Formler i området

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,dA=r dr dθx=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta
Vad gör formeln?
Byter från x och y till radie och vinkel, med areaelementet r dr dθ.
När får den användas?
r ≥ 0 och vinkelintervallet ska täcka området exakt en gång. Faktorn r i areaelementet måste alltid följa med vid integration.

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=z,dV=r dr dθ dzx=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz
Vad gör formeln?
med höjden z kvar, och volymelementet r dr dθ dz.
När får den användas?
r ≥ 0 och kroppen ska täckas exakt en gång. Faktorn r är koordinatbytets .

x=Rsin⁡ϕcos⁡θ,y=Rsin⁡ϕsin⁡θ,z=Rcos⁡ϕ,dV=R2sin⁡ϕ dR dϕ dθ.\begin{aligned}x&=R\sin\phi\cos\theta,\quad y=R\sin\phi\sin\theta,\quad z=R\cos\phi,\\dV&=R^2\sin\phi\,dR\,d\phi\,d\theta.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Radie och två vinklar beskriver rummet, med volymelementet R² sin φ dR dφ dθ.
När får den användas?
R ≥ 0 och 0 ≤ φ ≤ π, där φ mäts från positiva z-axeln. Kontrollera vilken vinkelkonvention uppgiften använder innan gränserna sätts.

Öppen boll

Br(a)={x∈Rn:∥x−a∥<r}B_r(a)=\{x\in\mathbb R^n:\|x-a\|<r\}
Vad gör formeln?
Alla punkter vars avstånd till a är mindre än r.
När får den användas?
Centrum a och radie r > 0.

Inre, yttre, , öppet och slutet

a∈D∘  ⟺  ∃r>0:Br(a)⊂D,a∈(Dc)∘  ⟺  ∃r>0:Br(a)⊂Dc,a∈∂D  ⟺  Br(a)∩D≠∅  och  Br(a)∩Dc≠∅  ∀r>0,D  o¨ppen  ⟺  D=D∘,D  sluten  ⟺  ∂D⊂D.\begin{aligned}a\in D^\circ&\iff \exists r>0:B_r(a)\subset D,\\a\in(D^c)^\circ&\iff \exists r>0:B_r(a)\subset D^c,\\a\in\partial D&\iff B_r(a)\cap D\ne\varnothing\;\text{och}\;B_r(a)\cap D^c\ne\varnothing\;\forall r>0,\\D\;\text{öppen}&\iff D=D^\circ,\qquad D\;\text{sluten}\iff\partial D\subset D.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Topologiska grundbegrepp för områden och existenssatser.
När får den användas?
För delmängder av R^n.

Begränsad och

D  begra¨nsad  ⟺  ∃R>0:D⊂BR(0),D  kompakt  ⟺  D  a¨r sluten och begra¨nsadD\;\text{begränsad}\iff\exists R>0:D\subset B_R(0),\qquad D\;\text{kompakt}\iff D\;\text{är sluten och begränsad}
Vad gör formeln?
är nyckelvillkoret bakom Weierstrass sats.
När får den användas?
Heine–Borels karakterisering i ändligdimensionella euklidiska rum.

Andragradsytor i standardform

x2a2+y2b2+z2c2=1(ellipsoid),x2a2+y2b2−z2c2=1(enmantlad hyperboloid),z=x2a2+y2b2(paraboloid).\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}&=1\quad\text{(ellipsoid)},\\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}&=1\quad\text{(enmantlad hyperboloid)},\\z&=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\quad\text{(paraboloid)}.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Tecknen på kvadrattermerna och den saknade variabeln avgör vilken standardyta ekvationen beskriver.
När får den användas?
a, b och c är positiva. Saknas en variabel helt beskriver ekvationen en cylinder med den axeln som generatris.

Parametrisk kurva och kinematik

r(t)=(x(t),y(t),z(t)),v=r′,v=∥r′∥,a=r′′\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t)),\quad \mathbf v=\mathbf r',\quad v=\|\mathbf r'\|,\quad \mathbf a=\mathbf r''
Vad gör formeln?
, hastighet, fart och acceleration.
När får den användas?
Kurvan ska vara tillräckligt deriverbar.

Båglängd

L=∫ab∥r′(t)∥ dtL=\int_a^b\|\mathbf r'(t)\|\,dt
Vad gör formeln?
Summerar kurvans infinitesimala längdelement.
När får den användas?
Kurvan är styckvis glatt och genomlöps en gång.

Linjeintegral av

∫Cf ds=∫abf(r(t))∥r′(t)∥ dt\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|\,dt
Vad gör formeln?
Väger ett längs en kurva.
När får den användas?
C av r(t), a ≤ t ≤ b.

Linjesegmentets

r(t)=a+t(b−a),0≤t≤1\mathbf r(t)=\mathbf a+t(\mathbf b-\mathbf a),\qquad 0\le t\le1
Vad gör formeln?
Standardparametrisering för en rak linje.
När får den användas?
Det orienterade segmentet går från a till b.

och

f(x,y)=c,f(x,y,z)=cf(x,y)=c,\qquad f(x,y,z)=c
Vad gör formeln?
Punkter där funktionen har samma värde.
När får den användas?
c är ett konstant funktionsvärde.

i flera variabler

lim⁡x→af(x)=L  ⟺  ∀ε>0  ∃δ>0:  0<∥x−a∥<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\;0<\|x-a\|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon
Vad gör formeln?
Epsilon–delta-definitionen i flera variabler.
När får den användas?
Samma L måste erhållas längs alla vägar mot a.

f  a¨r kontinuerlig i a  ⟺  lim⁡x→af(x)=f(a)f\;\text{är kontinuerlig i }a\iff\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
Vad gör formeln?
överensstämmer med funktionsvärdet.
När får den användas?
Funktionen måste vara definierad i a.

Visa att ett saknas

lim⁡t→0f(γ1(t))≠lim⁡t→0f(γ2(t)) ⇒ lim⁡(x,y)→(a,b)f(x,y) saknas\lim_{t\to0}f(\gamma_1(t))\ne\lim_{t\to0}f(\gamma_2(t))\ \Rightarrow\ \lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\ \text{saknas}
Vad gör formeln?
Två vägar med olika räcker för att inte ska existera.
När får den användas?
Båda vägarna ska gå mot samma punkt och ligga i definitionsmängden. Att många vägar ger samma värde bevisar däremot ingenting.

Kan du använda koordinatsystem och nivåkurvor?

Lös en riktig tentauppgift från SF1626 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift