Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
4. Optimering

Extremvärden och bivillkor

Hitta och klassificera extremvärden, även när lösningen måste ligga på en .

Översikt

Kritiska punkter är bara kandidater

Börja med punkter där är noll eller inte finns. Klassificera dem med andra derivator och kontrollera alltid en eventuell .

D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2

Exempel

Exempel: Lagrange på ett bivillkor

Maximera f(x,y)=xy under x+y=10 med x,y≥0. Sätt g(x,y)=x+y-10. Lagranges ekvation ger x=y och ger sedan x=y=5. Kandidaten ger maxvärdet 25; ändpunkterna på ger 0.

∇f=(y,x)=λ(1,1)=λ∇g\nabla f=(y,x)=\lambda(1,1)=\lambda\nabla g

Lagrange hittar kandidater på den släta . Ändpunkter, hörn och eventuella inre måste fortfarande kontrolleras separat.

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Kontrollera alltid antaganden, och skalfaktorer. Koppla sedan vidare till de relaterade ämnena när metoden inte räcker ensam.

Optimum under ett bivillkor

Punkten visar var den begränsade optimeringen når sitt största värde.

En tvådimensionell begränsad optimering med en markerad optimal punkt.

Laddar figur…

Formler i området

och andraderivatatestet

A=fxx, B=fxy, C=fyy,Hf=(ABBC),{B2−AC<0, A>0⇒lokalt minimum,B2−AC<0, A<0⇒lokalt maximum,B2−AC>0⇒sadelpunkt,B2−AC=0⇒inget svar.A=f_{xx},\ B=f_{xy},\ C=f_{yy},\quad H_f=\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix},\qquad\begin{cases}B^2-AC<0,\ A>0&\Rightarrow\text{lokalt minimum},\\B^2-AC<0,\ A<0&\Rightarrow\text{lokalt maximum},\\B^2-AC>0&\Rightarrow\text{sadelpunkt},\\B^2-AC=0&\Rightarrow\text{inget svar}.\end{cases}
Vad gör formeln?
Andraderivatorna bildar , och tecknet på B²−AC klassificerar den kritiska punkten.
När får den användas?
Punkten ska vara kritisk och f vara C² i en omgivning, vilket också ger f_xy = f_yx. Kursen formulerar testet som Sats 2 med storheten B²−AC.

Lagranges multiplikatormetod

∇f=λ∇g,g=0,L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y),∇x,y,λL=0.\begin{aligned}\nabla f&=\lambda\nabla g,\quad g=0,\\L(x,y,\lambda)&=f(x,y)+\lambda g(x,y),\quad\nabla_{x,y,\lambda}L=0.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Gradienterna är parallella i ett extremvärde med , vilket också kan skrivas som ett kritisk-punkt-villkor för L.
När får den användas?
g = 0 ska vara glatt och punkten reguljär med ∇g ≠ 0. Kursens Sats 3 formulerar metoden med Lagrangefunktionen L.

Extremvärdessatsen

D kompakt, f kontinuerlig pa˚ D ⇒ f antar ba˚de ett sto¨rsta och ett minsta va¨rde pa˚ DD\ \text{kompakt},\ f\ \text{kontinuerlig på }D\ \Rightarrow\ f\ \text{antar både ett största och ett minsta värde på }D
Vad gör formeln?
Kursens Sats 1 i Modul IV: och garanterar att extremvärdena finns.
När får den användas?
D ska vara både sluten och begränsad, och f på hela D. Satsen ger existens men pekar inte ut punkterna.

Lokala och

f(a)≥f(x)  ∀x∈D⇒a  a¨r global maximipunkt,f(a)≥f(x)  ∀x∈D∩Br(a)⇒a  a¨r lokal maximipunkt.\begin{aligned}f(a)\ge f(x)\;\forall x\in D&\Rightarrow a\;\text{är global maximipunkt},\\f(a)\ge f(x)\;\forall x\in D\cap B_r(a)&\Rightarrow a\;\text{är lokal maximipunkt}.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Global jämförelse gäller hela området, lokal jämförelse bara en omgivning.
När får den användas?
Vänd olikheterna för minimipunkter.

Kandidater till

∇f=0ellerf  ej deriverbar,samt punkter pa˚ ∂D\nabla f=0\quad\text{eller}\quad f\;\text{ej deriverbar},\qquad \text{samt punkter på }\partial D
Vad gör formeln?
Kontrollera kritiska och singulära punkter samt hela .
När får den användas?
En funktion på en antar max och min.

Optimering på en

r(t)=(x(t),y(t)),g(t)=f(r(t)),g′(t)=0\mathbf r(t)=(x(t),y(t)),\qquad g(t)=f(\mathbf r(t)),\qquad g'(t)=0
Vad gör formeln?
Reducerar randproblemet till en variabel.
När får den användas?
Täck hela randdelen och kontrollera ändpunkter.

Implicita funktionssatsen

det⁡D(x,y)(F,G)≠0⇒x=x(u,v),  y=y(u,v)\det D_{(x,y)}(F,G)\ne0\Rightarrow x=x(u,v),\;y=y(u,v)
Vad gör formeln?
Ett icke-singulärt delsystem kan lösas ut unikt och lokalt.
När får den användas?
F och G är C¹-funktioner av (x,y,u,v), båda är noll i baspunkten och determinanten utvärderas där.

Derivator av

(xuxvyuyv)=−(FxFyGxGy)−1(FuFvGuGv)\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}F_x&F_y\\G_x&G_y\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{pmatrix}
Vad gör formeln?
Ger derivatorna utan explicit lösning.
När får den användas?
Matriserna utvärderas i lösningspunkten.

till implicit yta

Fx(a,b,c)(x−a)+Fy(a,b,c)(y−b)+Fz(a,b,c)(z−c)=0F_x(a,b,c)(x-a)+F_y(a,b,c)(y-b)+F_z(a,b,c)(z-c)=0
Vad gör formeln?
är .
När får den användas?
F(a,b,c)=0 och ∇F(a,b,c) är inte noll.

Hörn- och ändpunkter på

∂D styckvis sla¨t⇒ ho¨rn och a¨ndpunkter pro¨vas separat, uto¨ver ∇f=λ∇g\partial D\ \text{styckvis slät}\Rightarrow\ \text{hörn och ändpunkter prövas separat, utöver }\nabla f=\lambda\nabla g
Vad gör formeln?
Där har hörn eller tar slut gäller inte Lagranges villkor, så punkterna måste prövas var för sig.
När får den användas?
Gäller när är styckvis slät, till exempel en polygon eller en som slutar i ändpunkter. I hörnen är inte deriverbar.

Hänger ihop med

Kan du använda extremvärden och bivillkor?

Lös en riktig tentauppgift från SF1626 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift