Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
6. Integraler

Trippel- och ytintegraler

Beräkna volym, massa och med koordinater och i tre dimensioner.

Översikt

Bygg kroppen lager för lager

En summerar över volym. Välj ordningen så att varje tvärsnitt får tydliga gränser och använd symmetri när den finns.

∭Vf(x,y,z) dV\iiint_V f(x,y,z)\,dV

Exempel

Exempel: parametrisera en cylinderyta

Mantelytan på enhetscylindern beskrivs med vinkeln θ och höjden z. Tangentvektorerna i θ- och z-led är (−sinθ, cosθ, 0) och (0, 0, 1), så deras kryssprodukt har 1. , kryssprodukten och är tre steg som normalt används tillsammans.

r(θ,z)=(cos⁡θ,sin⁡θ,z),0≤θ≤2π, 0≤z≤h\mathbf r(\theta,z)=(\cos\theta,\sin\theta,z),\quad 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le z\le h

dS=∥rθ×rz∥ dθ dz=dθ dzdS=\|\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z\|\,d\theta\,dz=d\theta\,dz

Kontrollera parameterområdet: här ger 0≤θ≤2π ett helt varv och 0≤z≤h rätt höjd.

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Kontrollera alltid antaganden, och skalfaktorer. Koppla sedan vidare till de relaterade ämnena när metoden inte räcker ensam.

En volym med cylindriska gränser

Vrid kroppen för att se hur gränserna begränsar volymen.

En tredimensionell volym i första oktanten under ett plan.

Laddar figur…

Formler i området

över en reguljär kropp

∭Kf dV=∫ab∫g1(x)g2(x)∫h1(x,y)h2(x,y)f(x,y,z) dz dy dx\iiint_Kf\,dV=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx
Vad gör formeln?
Summerar ett fält över volym genom att bygga kroppen lager för lager.
När får den användas?
Gränserna ska beskriva K exakt en gång. Dela K i flera delar om en enda uppsättning gränser inte räcker.

med normal och

r(u,v),n=ru×rv,dS=∥ru×rv∥ du dv\mathbf r(u,v),\quad\mathbf n=\mathbf r_u\times\mathbf r_v,\qquad dS=\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv
Vad gör formeln?
Två parametrar ger ytan, tangentvektorerna ger och normalens längd ger areaskalan.
När får den användas?
ska vara reguljär, det vill säga r_u × r_v ≠ 0, och täcka den önskade ytbiten exakt en gång.

Volym och massa

V(K)=∭K1 dV,m=∭Kρ(x,y,z) dVV(K)=\iiint_K1\,dV,\qquad m=\iiint_K\rho(x,y,z)\,dV
Vad gör formeln?
Integralen av ett ger volymen, och integralen av ger massan.
När får den användas?
K är en mätbar kropp och ρ är volymdensitet i massa per volymenhet. Volymen är massan i det fall då är konstant lika med ett.

(xˉ,yˉ,zˉ)=1m(∭Kxρ dV,∭Kyρ dV,∭Kzρ dV)(\bar x,\bar y,\bar z)=\frac1m\left(\iiint_Kx\rho\,dV,\iiint_Ky\rho\,dV,\iiint_Kz\rho\,dV\right)
Vad gör formeln?
Densitetsvägda koordinatmedelvärden.
När får den användas?
Massan m är positiv.

i

∭Kf dV=∭K′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣du dv dw\iiint_Kf\,dV=\iiint_{K'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|du\,dv\,dw
Vad gör formeln?
Byter kropp, integrand och volymelement, där 3×3-Jacobianen skalar volymen.
När får den användas?
Transformationen ska vara deriverbar, täcka K exakt en gång och ha en som inte försvinner i det reguljära inre.

för en funktionsyta

z=g(x,y)⇒dS=1+gx2+gy2 dx dyz=g(x,y)\Rightarrow dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy
Vad gör formeln?
Lutningen förstorar det projicerade areaelementet.
När får den användas?
Ytan är en graf över xy-planet.

av

∬Sf dS=∬Df(r(u,v))∥ru×rv∥ du dv\iint_S f\,dS=\iint_D f(\mathbf r(u,v))\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv
Vad gör formeln?
Summerar ett över en krökt yta.
När får den användas?
täcker S utan överlappning.

Area av en buktig yta

A(S)=∬D∥ru×rv∥ du dv=∬D1+gx2+gy2 dx dyA(S)=\iint_D\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv=\iint_{D}\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy
Vad gör formeln?
av funktionen ett ger ytans area.
När får den användas?
Första formen kräver en , den andra att ytan är grafen z = g(x,y) över sin projektion D.

Hänger ihop med

Kan du använda trippel- och ytintegraler?

Lös en riktig tentauppgift från SF1626 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift