Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
2. Linjarisering

Gradient, linjärisering och tangentplan

Beskriv en funktions lokala förändring med och .

Översikt

Gradienten pekar brantast uppför

De partiella derivatorna mäter förändringen i en koordinatriktning. Tillsammans bildar de , som är ortogonal mot .

∇f=(fx,fy)\nabla f=(f_x,f_y) samlar de partiella derivatorna.

Exempel

Exempel: bygg tangentplanet från gradienten

För f(x,y)=x²+xy och punkten (1,2) är f(1,2)=3. använder samma som .

∇f(1,2)=(2x+y,x)∣(1,2)=(4,1)\nabla f(1,2)=(2x+y,x)\big|_{(1,2)}=(4,1)

z=3+4(x−1)+(y−2)z=3+4(x-1)+(y-2)

anger lutningen i x- och y-led; punktens funktionsvärde förankrar planet på rätt höjd.

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Kontrollera alltid antaganden, och skalfaktorer. Koppla sedan vidare till de relaterade ämnena när metoden inte räcker ensam.

Tangentplanet följer ytan lokalt

Jämför den krökta nivåytan med dess linjära approximation vid punkten.

En nivåyta med markerad punkt och tangentplan.

Laddar figur…

Formler i området

fx(x,y)=lim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h,fy(x,y)=lim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h.\begin{aligned}f_x(x,y)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\\f_y(x,y)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Mäter förändringen i en koordinatriktning i taget.
När får den användas?
Håll övriga variabler konstanta. Kursen växlar mellan skrivsätten f_x, ∂f/∂x och f_1 för samma derivata.

∇f=(fx,fy,fz)\nabla f=(f_x,f_y,f_z)
Vad gör formeln?
När inte är noll pekar dess normaliserade riktning mot snabbast ökning.
När får den användas?
För deriverbara .

Duf=∇f⋅u,∥u∥=1D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u,\qquad \|\mathbf u\|=1
Vad gör formeln?
Mäter förändring längs en given riktning.
När får den användas?
f ska vara i punkten och riktningen u måste vara enhetslång.

och

L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b),z=L(x,y)L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b),\qquad z=L(x,y)
Vad gör formeln?
Samma uttryck är både ytans och funktionens bästa linjära approximation.
När får den användas?
f ska vara i (a,b), och uttrycket används bara som lokal approximation nära punkten.

JF=∂(f1,…,fm)∂(x1,…,xn)J_F=\frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}
Vad gör formeln?
Samlar alla första .
När får den användas?
För vektorvärda funktioner.

Likhet för blandade derivator

fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}
Vad gör formeln?
Clairauts sats låter derivationsordningen bytas.
När får den användas?
De blandade andraderivatorna är kontinuerliga i en omgivning.

och dess följder

lim⁡(h,k)→(0,0)f(a+h,b+k)−f(a,b)−fx(a,b)h−fy(a,b)kh2+k2=0⇒f kontinuerlig,Duf=∇f⋅u.\begin{aligned}&\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)h-f_y(a,b)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\\&\Rightarrow f\ \text{kontinuerlig},\quad D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Felet i är litet jämfört med steglängden, vilket ger både och .
När får den användas?
Att de partiella derivatorna bara existerar räcker inte. Kontinuerliga f_x och f_y i en omgivning räcker däremot för .

med

F(a+h)=F(a)+JF(a)h+o(∥h∥)F(\mathbf a+\mathbf h)=F(\mathbf a)+J_F(\mathbf a)\mathbf h+o(\|\mathbf h\|)
Vad gör formeln?
Vektorformen av första ordningens approximation, med som derivata.
När får den användas?
F ska vara i a. Resttermen o(||h||) blir försumbar jämfört med ||h|| när h går mot noll.

längs en kurva

ddtf(x(t),y(t))=fx x′(t)+fy y′(t)=∇f⋅r′(t)\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=f_x\,x'(t)+f_y\,y'(t)=\nabla f\cdot\mathbf r'(t)
Vad gör formeln?
Deriverar en sammansatt funktion längs en väg.
När får den användas?
f och kurvan ska vara deriverbara.

med två parametrar

zs=fx xs+fy ys,zt=fx xt+fy yt.\begin{aligned}z_s&=f_x\,x_s+f_y\,y_s,\\z_t&=f_x\,x_t+f_y\,y_t.\end{aligned}
Vad gör formeln?
efter ett .
När får den användas?
z=f(x(s,t),y(s,t)); alla funktioner är deriverbara.

Hänger ihop med

Kan du använda gradient, linjärisering och tangentplan?

Lös en riktig tentauppgift från SF1626 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift