Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
7. Vektorkalkyl

Gauss och Stokes satser

Koppla samman lokala derivator med cirkulation och genom hela områden.

Översikt

Byt mellan rand och inre

Greens, Stokes och Gauss satser låter dig välja den beskrivning som gör beräkningen enklast: en randintegral, en yta eller en volym.

∬∂VF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\hat{\mathbf n}\,dS=\iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV

Exempel

Exempel: Gauss tillsammans med divergens och volymintegral

För F=(x,y,z) och enhetssfären S är F=3. Eftersom S är sluten kan byta flödesintegralen mot en över enhetsklotet. Gauss används alltså tillsammans med och . På motsvarande sätt används Stokes ofta tillsammans med , och en yta vars är den givna kurvan.

∬SF⋅n^ dS=∭B3 dV=3⋅4π3=4π\iint_S\mathbf F\cdot\hat{\mathbf n}\,dS=\iiint_B 3\,dV=3\cdot\frac{4\pi}{3}=4\pi

Välj sats efter : Gauss kräver en , medan Stokes kräver en med den aktuella slutna .

Fördjupning

Fördjupning och vanliga fallgropar

Kontrollera alltid antaganden, och skalfaktorer. Koppla sedan vidare till de relaterade ämnena när metoden inte räcker ensam.

Divergens genom en sluten yta

Figuren knyter samman lokal divergens med totalt utåtgående flöde.

Ett tredimensionellt vektorfält genom en avgränsad volym.

Laddar figur…

Formler i området

∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅N dS,∮∂SP dx+Q dy+R dz=∬S(∇×F)⋅N dS.\begin{aligned}\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r&=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf N\,dS,\\\oint_{\partial S}P\,dx+Q\,dy+R\,dz&=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf N\,dS.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Cirkulationen längs är av genom ytan.
När får den användas?
S är en orienterad, styckvis slät yta vars genomlöps positivt i förhållande till N.

∬∂VF⋅N dS=∭V∇⋅F dV=∭V(Px+Qy+Rz) dV.\begin{aligned}\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS&=\iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV\\&=\iiint_V(P_x+Q_y+R_z)\,dV.\end{aligned}
Vad gör formeln?
Totalflödet ut genom randytan är volymintegralen av .
När får den användas?
V är en kropp med styckvis slät randyta och utåtriktad normal N, och F har deriverbara komponenter på hela V.

Sluta en öppen yta för

∬SF⋅N dS=∭V∇⋅F dV−∬S0F⋅N dS\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS=\iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV-\iint_{S_0}\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS
Vad gör formeln?
Lägg till ett lock så att ytan blir sluten, använd och dra bort lockets .
När får den användas?
S tillsammans med locket S₀ ska vara hela den slutna randytan till kroppen V, med genomgående utåtriktad normal.

∇⋅F=Px+Qy+Rz,∇⋅F≡0⇒F ka¨llfritt\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z,\qquad\nabla\cdot\mathbf F\equiv0\Rightarrow\mathbf F\ \text{källfritt}
Vad gör formeln?
Mäter lokal nettoutströmning; identiskt noll betyder .
När får den användas?
F = (P,Q,R) har deriverbara komponenter. Källfrihet kräver att är identiskt noll på hela området, inte bara i en provpunkt.

∇×F=(Ry−QzPz−RxQx−Py),∇×F≡0⇒F rotationsfritt\nabla\times\mathbf F=\begin{pmatrix}R_y-Q_z\\P_z-R_x\\Q_x-P_y\end{pmatrix},\qquad\nabla\times\mathbf F\equiv\mathbf 0\Rightarrow\mathbf F\ \text{rotationsfritt}
Vad gör formeln?
Mäter lokal cirkulation; identiskt noll betyder .
När får den användas?
F = (P,Q,R) har deriverbara komponenter. Rotationsfrihet kräver att är identiskt noll, och områdets topologi avgör om en följer.

F=∇×A\mathbf F=\nabla\times\mathbf A
Vad gör formeln?
Ett kan skrivas som en under rätt villkor.
När får den användas?
Global existens kräver lämpliga områdesvillkor och F=0.

Δf=∇2f=∇⋅∇f=fxx+fyy+fzz\Delta f=\nabla^2f=\nabla\cdot\nabla f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}
Vad gör formeln?
Summerar de rena andraderivatorna.
När får den användas?
I två variabler utelämnas z-termen.

Flödesintegral

∬SF⋅N dS\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS
Vad gör formeln?
Summerar fältets normalkomponent genom ytan.
När får den användas?
Ytan är orienterad och vald konsekvent.

av en yta

N=±ru×rv∥ru×rv∥\mathbf N=\pm\frac{\mathbf r_u\times\mathbf r_v}{\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|}
Vad gör formeln?
Tecknet väljer ytans sida.
När får den användas?
Ett normalval krävs.

via

∬SF⋅N dS=∬DF(r(u,v))⋅(ru×rv) du dv\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS=\iint_D\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv
Vad gör formeln?
Kryssprodukten inkluderar normal och .
När får den användas?
Parameterordningen ger önskad .

Stokes baklänges

F=∇×A⇒∬SF⋅N dS=∮∂SA⋅dr\mathbf F=\nabla\times\mathbf A\Rightarrow\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf N\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf A\cdot d\mathbf r
Vad gör formeln?
Byter av ett rotationsfält mot en .
När får den användas?
Orienteringarna stämmer överens.

Grundläggande vektoridentiteter

∇×(∇f)=0,∇⋅(∇×F)=0,∇⋅(∇f)=Δf\nabla\times(\nabla f)=\mathbf0,\qquad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0,\qquad \nabla\cdot(\nabla f)=\Delta f
Vad gör formeln?
Gradientfält är rotationsfria och rotationsfält källfria.
När får den användas?
Funktionerna är tillräckligt deriverbara.

Hänger ihop med

Kan du använda gauss och stokes satser?

Lös en riktig tentauppgift från SF1626 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift