Formelsamling för Teknisk strömningsmekanik

Q=\int_A\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA=\bar u A

Vad gör formeln?: Summerar en ojämn hastighetsprofil över hela tvärsnittet.
När får den användas?: Normalhastigheten integreras över snittet; Q är ett signerat flöde.

Enodas sammanfattning

Stationär masskontinuitet

\sum_{\mathrm{in}}\rho_i\bar u_i A_i=\sum_{\mathrm{ut}}\rho_j\bar u_j A_j

Vad gör formeln?: Kopplar inlopp och utlopp även när densiteterna skiljer sig.
När får den användas?: Stationär utan nettolagring av massa; snittens medelvärden måste vara konsekventa.

Enodas sammanfattning

Materiell acceleration

\frac{D\mathbf v}{Dt}=\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v

Vad gör formeln?: Beräknar accelerationen hos en partikel som rör sig genom fältet.
När får den användas?: Glatt hastighetsfält i det valda inertialsystemet.

Enodas sammanfattning

i planet

Bernoulli, kontrollvolymer och krafter →

\frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y,t)}{u(x,y,t)}

Vad gör formeln?: Ger en kurva vars tangent följer hastighetsvektorn.
När får den användas?: Fixerad tid och u≠0 lokalt; vid u=0 kan en annan parametrisering behövas.

Enodas sammanfattning

Bernoulli, kontrollvolymer och krafter

Bernoullis ekvation

p+\frac12\rho V^2+\rho gz=\mathrm{konstant}

Vad gör formeln?: Kopplar statiskt tryck, hastighet och läge.
När får den användas?: Stationär, inkompressibel och friktionsfri strömning längs en , utan pump eller turbin mellan punkterna.

Enodas sammanfattning

Stationär rörelsemängdsbalans

Bernoulli, kontrollvolymer och krafter →

\sum\mathbf F=\sum_{\mathrm{ut}}\dot m\mathbf v-\sum_{\mathrm{in}}\dot m\mathbf v

Vad gör formeln?: Beräknar kraften på fluiden från dess ändrade rörelsemängdsflöde.
När får den användas?: Stationär i ett inertialsystem; jämna profiler eller korrekt integrerade rörelsemängdsflöden.

Enodas sammanfattning

Viskositet och laminär strömning

Newtonsk skjuvspänning

Viskositet och laminär strömning →

\tau_{xy}=\mu\frac{du}{dy}

Vad gör formeln?: Kopplar hastighetsprofilens lutning till skjuvspänningen.
När får den användas?: Newtonsk fluid med parallell hastighet u(y) och den angivna tensor- och normalkonventionen.

Enodas sammanfattning

Couette–Poiseuilleflöde i en spalt

Viskositet och laminär strömning →

u(y)=-\frac1{2\mu}\frac{dp}{dx}y(h-y)+U_w\frac yh

Vad gör formeln?: Superponerar en parabolisk tryckprofil och en linjär väggdriven profil.
När får den användas?: Stationärt, fullt utbildat laminärt flöde mellan väggar y=0 och y=h; undre väggen stilla, övre med signerad hastighet U_w.

Enodas sammanfattning

Hagen–Poiseuilles lag

Viskositet och laminär strömning →

Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}

Vad gör formeln?: Kopplar laminärt rörflöde till tryckfall och radie.
När får den användas?: Inkompressibel modell, stationärt fullt utbildat laminärt flöde i rakt cirkulärt rör med konstant och utan höjdskillnad.

Enodas sammanfattning

Rörströmning, förluster och pumpar

för rörströmning

Re_d=\frac{\rho\bar u d}{\mu}=\frac{\bar u d}{\nu}

Vad gör formeln?: Jämför tröghets- och viskositetsbidrag och hjälper välja flödesregim.
När får den användas?: Medelhastighet och innerdiameter används för cirkulära rör.

Enodas sammanfattning

Tryckförlust med

\Delta p_f=4f\frac Ld\frac{\rho\bar u^2}{2},\qquad f_D=4f

Vad gör formeln?: Ger den fördelade tryckförlusten längs ett rör.
När får den användas?: Fullt utbildat rörflöde; f är , f_D är Darcyfaktorn.

Enodas sammanfattning

Haalands approximation i Fanningform

\frac1{\sqrt f}=-3{,}6\log_{10}\left[\frac{6{,}9}{Re_d}+\left(\frac{k}{3{,}71d}\right)^{1{,}11}\right]

Vad gör formeln?: Beräknar kursens från och .
När får den användas?: Turbulent rörströmning; empirisk approximation. Använd inte för laminär regim eller som exakt övergångsmodell.

Enodas sammanfattning

Lokal tryckförlust

\Delta p_\alpha=\alpha\frac{\rho\bar u_{\mathrm{ref}}^2}{2}

Vad gör formeln?: Anger tryckförlust i en krök, ventil eller in- och utlopp.
När får den användas?: Förlustkoefficienten och referenshastigheten ska avse samma komponent och snitt.

Enodas sammanfattning

Gränsskikt och strömningsmotstånd

Blasius

\delta^*(x)=1{,}721\frac{x}{\sqrt{Re_x}},\qquad Re_x=\frac{\rho U_\infty x}{\mu}

Vad gör formeln?: Ersätter förlorat nära väggen med en effektiv förträngning.
När får den användas?: Laminärt på plan platta med noll tryckgradient och konstant friström.

Enodas sammanfattning

Blasius

\theta(x)=0{,}664\frac{x}{\sqrt{Re_x}}

Vad gör formeln?: Beskriver gränsskiktets rörelsemängdsunderskott.
När får den användas?: Laminär Blasiusströmning över plan platta med noll tryckgradient.

Enodas sammanfattning

Motståndskraft på en kropp

D=C_D\frac12\rho U_\infty^2 A_{\mathrm{ref}}

Vad gör formeln?: Kopplar kroppens strömningsmotstånd till och area.
När får den användas?: C_D hämtas för rätt geometri, och referensarea.

Enodas sammanfattning

Integrerat friktionsmotstånd på en platta

D_f=C_F\frac12\rho U_\infty^2 A_{\text{våt}}

Vad gör formeln?: Beräknar väggfriktionen över en eller flera våta ytor.
När får den användas?: Total, längdmedelvärderad friktionskoefficient C_F för vald laminär, turbulent eller blandad modell.

Enodas sammanfattning

Potentialströmning och spegling

Laplace ekvation för

\mathbf v=\nabla\varphi,\qquad\nabla^2\varphi=0

Vad gör formeln?: Förenar potentialdefinitionen med lokal masskontinuitet.
När får den användas?: Glatt och inkompressibelt flöde, bortom singulariteter.

Enodas sammanfattning

Plan och flöde

u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\quad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x},\quad Q'=\psi_2-\psi_1

Vad gör formeln?: Gör flödet mellan två till en skillnad av funktionsvärden.
När får den användas?: Inkompressibel plan strömning; Q' är signerat genom kurvan från punkt 1 till 2 med högerriktad normal.

Enodas sammanfattning

Linjekälla i polära koordinater

v_r=\frac{m}{2\pi r},\quad v_\theta=0,\quad\varphi=\frac m{2\pi}\ln r,\quad\psi=\frac m{2\pi}\theta

Vad gör formeln?: Beskriver radiell utströmning från en linjekälla.
När får den användas?: Källstyrka m per längdenhet; r>0 och en konsekvent vald vinkelgren.

Enodas sammanfattning

Fri potentialvirvel

v_r=0,\quad v_\theta=\frac\Gamma{2\pi r},\quad\varphi=\frac\Gamma{2\pi}\theta,\quad\psi=-\frac\Gamma{2\pi}\ln r

Vad gör formeln?: Beskriver cirkulär hastighet kring ett singularitetscentrum.
När får den användas?: Γ är positiv för moturs rotation; r>0, plan idealisering och angiven strömfunktionskonvention.

Enodas sammanfattning

Tryckkoefficient i inkompressibel potentialströmning

c_p=\frac{p-p_\infty}{\rho U_\infty^2/2}=1-\left(\frac V{U_\infty}\right)^2

Vad gör formeln?: Normaliserar lokal tryckändring med friströmmens dynamiska tryck.
När får den användas?: Bernoulli gäller mellan punkten och friströmmen, samma höjd och konstant .

Enodas sammanfattning

Kompressibel strömning, dysor och stötar

och ljudhastighet

M=\frac Va,\qquad a=\sqrt{\gamma RT}

Vad gör formeln?: Jämför flödeshastighet med ljudets lokala hastighet.
När får den användas?: Ideal gas; R är gasens specifika gaskonstant och T den lokala statiska temperaturen.

Enodas sammanfattning

Isentropiska stagnationsrelationer

\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2,\qquad\frac{p_0}{p}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}

Vad gör formeln?: Kopplar till statiskt tryck och temperatur.
När får den användas?: Kaloriskt perfekt ideal gas och övergång mellan lokal punkt och stagnationstillstånd.

Enodas sammanfattning

Area–Machsambandet

\frac A{A^*}=\frac1M\left[\frac2{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}

Vad gör formeln?: Kopplar tvärsnittsarea till subsoniskt eller supersoniskt .
När får den användas?: Stationär, endimensionell, av kaloriskt perfekt ideal gas; A* är områdets soniska kritiska area.

Enodas sammanfattning

genom sonisk hals

\dot m=p_0A^*\sqrt{\frac\gamma{RT_0}}\left(\frac2{\gamma+1}\right)^{(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}

Vad gör formeln?: Ger halsens maximala flödeskapacitet vid ett givet stagnationstillstånd.
När får den användas?: Strypt hals med M=1; stationär tillströmning och kaloriskt perfekt ideal gas.

Enodas sammanfattning

efter en