Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
7. Potentialströmning och spegling

Potentialströmning och spegling

Bygg fält med källor och virvlar, använd för flöden och uppfyll väggvillkor med .

Översikt

Potential och strömfunktion har olika roller

Ett potentialfält skrivs v=∇φ\mathbf v=\nabla\varphi. Inkompressibilitet ger ∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v=0, alltså ∇2φ=0\nabla^2\varphi=0. För plan strömning väljer vi konventionen u=∂ψ/∂yu=\partial\psi/\partial y, v=−∂ψ/∂xv=-\partial\psi/\partial x; strömlinjerna är då nivåkurvor till ψ\psi. Potentialen har en rotationfri hastighet där den är glatt definierad; singulariteter som virvelcentrum kräver separat behandling.

Exempel

Exempel: källa i parallellström

En källa med styrkan mm i origo ger vr=m/(2πr)v_r=m/(2\pi r). I en parallellström U∞U_\infty är hastigheten på x-axeln u=U∞+m/(2πx)u=U_\infty+m/(2\pi x). Med m=6π m2/sm=6\pi\,\mathrm{m^2/s}, U∞=10 m/sU_\infty=10\,\mathrm{m/s} och x=−0,5 mx=-0{,}5\,\mathrm m fås u=4 m/su=4\,\mathrm{m/s}. Bernoulli ger sedan cp=1−(u/U∞)2=0,84c_p=1-(u/U_\infty)^2=0{,}84: källan bromsar den inkommande strömmen och höjer trycket där.

Fördjupning

Spegling och rotationskonvention

En virvel vid en rak ogenomtränglig vägg speglas med motsatt för att få noll normalhastighet. Vid ett rätvinkligt hörn behövs även den dubbla speglingen. Ange alltid virvelns rotationsriktning; tecknet på Γ\Gamma och beror på konventionen. Superposition gäller hastigheter och potentialer, inte tryck direkt, eftersom Bernoulli innehåller hastighetens kvadrat. En fri virvel i ett instationärt fält följer sin partikelbana och inte en fixerad ögonblicklig .

Formler i området

Laplace ekvation för

v=∇φ,∇2φ=0\mathbf v=\nabla\varphi,\qquad\nabla^2\varphi=0
Vad gör formeln?
Förenar potentialdefinitionen med lokal masskontinuitet.
När får den användas?
Glatt och inkompressibelt flöde, bortom singulariteter.

Plan och flöde

u=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂x,Q′=ψ2−ψ1u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\quad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x},\quad Q'=\psi_2-\psi_1
Vad gör formeln?
Gör flödet mellan två till en skillnad av funktionsvärden.
När får den användas?
Inkompressibel plan strömning; Q' är signerat genom kurvan från punkt 1 till 2 med högerriktad normal.

Linjekälla i polära koordinater

vr=m2πr,vθ=0,φ=m2πln⁡r,ψ=m2πθv_r=\frac{m}{2\pi r},\quad v_\theta=0,\quad\varphi=\frac m{2\pi}\ln r,\quad\psi=\frac m{2\pi}\theta
Vad gör formeln?
Beskriver radiell utströmning från en linjekälla.
När får den användas?
Källstyrka m per längdenhet; r>0 och en konsekvent vald vinkelgren.

Fri potentialvirvel

vr=0,vθ=Γ2πr,φ=Γ2πθ,ψ=−Γ2πln⁡rv_r=0,\quad v_\theta=\frac\Gamma{2\pi r},\quad\varphi=\frac\Gamma{2\pi}\theta,\quad\psi=-\frac\Gamma{2\pi}\ln r
Vad gör formeln?
Beskriver cirkulär hastighet kring ett singularitetscentrum.
När får den användas?
Γ är positiv för moturs rotation; r>0, plan idealisering och angiven strömfunktionskonvention.

Tryckkoefficient i inkompressibel potentialströmning

cp=p−p∞ρU∞2/2=1−(VU∞)2c_p=\frac{p-p_\infty}{\rho U_\infty^2/2}=1-\left(\frac V{U_\infty}\right)^2
Vad gör formeln?
Normaliserar lokal tryckändring med friströmmens dynamiska tryck.
När får den användas?
Bernoulli gäller mellan punkten och friströmmen, samma höjd och konstant .

Kan du använda potentialströmning och spegling?

Lös en riktig tentauppgift från SG1220 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift