Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto

Formelsamling för Differentialekvationer

16 formler ur SF1633/SF1676, i kursens egen ordning. En formel utan sitt villkor är en gissning — därför står det utskrivet vad var och en kräver för att gälla.

Första ordningens differentialekvationer

Separabel ekvation

Första ordningens ekvationer →
y′=g(x)h(y)  ⟹  ∫dyh(y)=∫g(x) dxy'=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx
Vad gör formeln?
Separabel ekvation används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
Gäller på intervall där divisionen med h(y) inte tappar jämviktslösningar.

Enodas sammanfattning

Första ordningens ekvationer →
y′+p(x)y=q(x),μ=e∫p(x)dx,(μy)′=μqy'+p(x)y=q(x),\quad \mu=e^{\int p(x)dx},\quad (\mu y)'=\mu q
Vad gör formeln?
används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
p och q ska vara kontinuerliga på intervallet.

Enodas sammanfattning

Högre ordningens linjära ekvationer

Karakteristisk ekvation

Högre ordningens ekvationer →
anrn+⋯+a1r+a0=0a_n r^n+\cdots+a_1r+a_0=0
Vad gör formeln?
Karakteristisk ekvation används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
För homogena linjära ekvationer med konstanta koefficienter.

Enodas sammanfattning

Reduktion av ordning

Högre ordningens ekvationer →
y2=u(x)y1(x)y_2=u(x)y_1(x)
Vad gör formeln?
Reduktion av ordning används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
En icke-noll lösning y1 till den homogena andragradsekvationen är känd.

Enodas sammanfattning

Högre ordningens ekvationer →
W(y1,y2)=y1y2′−y1′y2W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_1'y_2
Vad gör formeln?
används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
Två lösningar är linjärt oberoende om W är skild från noll i en punkt.

Enodas sammanfattning

System, fasplan och stabilitet

Linjära system →
Φ′=AΦ,det⁡Φ≠0,xh=Φc\Phi'=A\Phi,\quad \det\Phi\ne0,\quad \mathbf x_h=\Phi\mathbf c
Vad gör formeln?
används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
Kolonnerna är linjärt oberoende lösningsvektorer.

Enodas sammanfattning

Variation av parametrar för system

Linjära system →
xp(t)=Φ(t)∫Φ(t)−1g(t) dt\mathbf x_p(t)=\Phi(t)\int \Phi(t)^{-1}\mathbf g(t)\,dt
Vad gör formeln?
Variation av parametrar för system används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
Phi är en till det homogena systemet.

Enodas sammanfattning

Linjärisering med Jacobian

Stabilitet och fasplan →
u′=J(x∗)u\mathbf u'=J(\mathbf x_*)\mathbf u
Vad gör formeln?
Linjärisering med Jacobian används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
Den kritiska punkten är hyperbolisk för direkt egenvärdesklassificering.

Enodas sammanfattning

Laplacetransform och generaliserade funktioner

Transform av derivator

Laplacetransform →
L{y(n)}=snY−sn−1y(0)−⋯−y(n−1)(0)\mathcal L\{y^{(n)}\}=s^nY-s^{n-1}y(0)-\cdots-y^{(n-1)}(0)
Vad gör formeln?
Transform av derivator används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
y och derivatorna ska uppfylla de vanliga existensvillkoren för transformen.

Enodas sammanfattning

Andra förskjutningssatsen

Laplacetransform →
L{H(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal L\{H(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)
Vad gör formeln?
Andra förskjutningssatsen används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
a är positiv och H är Heavisides stegfunktion.

Enodas sammanfattning

Laplacetransform →
(f∗g)(t)=∫0tf(τ)g(t−τ)dτ,L{f∗g}=FG(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau,\quad \mathcal L\{f*g\}=FG
Vad gör formeln?
används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
Transformerna F och G ska existera i ett gemensamt halvplan.

Enodas sammanfattning

Fourierserier

Fourierkoefficienter

Fourierserier →
an=1p∫−ppf(x)cos⁡nπxpdx,bn=1p∫−ppf(x)sin⁡nπxpdxa_n=\frac1p\int_{-p}^{p}f(x)\cos\frac{n\pi x}{p}dx,\quad b_n=\frac1p\int_{-p}^{p}f(x)\sin\frac{n\pi x}{p}dx
Vad gör formeln?
Fourierkoefficienter används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
Formeln gäller för den 2p-periodiska utvidgningen.

Enodas sammanfattning

Konvergens i en punkt

Fourierserier →
Sf(x)=f(x−)+f(x+)2S_f(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}2
Vad gör formeln?
Konvergens i en punkt används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
f är exempelvis styckvis kontinuerligt deriverbar.

Enodas sammanfattning

Partiella differentialekvationer

Partiella differentialekvationer →
u(x,t)=X(x)T(t)u(x,t)=X(x)T(t)
Vad gör formeln?
används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
Ekvation och homogena ska medge produktlösningar.

Enodas sammanfattning

Värmeledningsekvationen

Partiella differentialekvationer →
ut=κuxxu_t=\kappa u_{xx}
Vad gör formeln?
Värmeledningsekvationen används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
kappa är positiv.

Enodas sammanfattning

Vågekvationen

Partiella differentialekvationer →
utt=c2uxxu_{tt}=c^2u_{xx}
Vad gör formeln?
Vågekvationen används återkommande i kursens tentamensproblem.
När får den användas?
c är den positiva våghastigheten.

Enodas sammanfattning