Formelsamling för Analytiska och numeriska metoder för differentialekvationer

y'=g(t)h(y)\quad\Longrightarrow\quad \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(t)\,dt+C

Vad gör formeln?: Separerar variablerna och integrerar vardera sidan.
När får den användas?: På intervall där h(y) inte är noll. Konstanta lösningar h(y)=0 måste kontrolleras separat.

Enodas sammanfattning

Linjär ODE med integrerande faktor

y'+p(t)y=q(t),\quad \mu(t)=e^{\int p(t)dt},\quad y=\mu^{-1}\left(C+\int \mu q\,dt\right)

Vad gör formeln?: Ger den allmänna lösningen till en linjär ODE av första ordningen.
När får den användas?: p och q är kontinuerliga på det studerade intervallet.

Enodas sammanfattning

Exponentiell tillväxt och avklingning

y'=ky,\quad y(t)=y_0e^{k(t-t_0)}

Vad gör formeln?: Standardmodellen för konstant relativ tillväxt eller avklingning.
När får den användas?: Tillväxthastigheten är proportionell mot den aktuella mängden.

Enodas sammanfattning

Blandningstank

M'(t)=q_{in}c_{in}(t)-q_{ut}\frac{M(t)}{V(t)},\quad V'(t)=q_{in}-q_{ut}

Vad gör formeln?: Balanserar inflöde och utflöde för mängden löst ämne.
När får den användas?: Tanken är fullständigt omblandad och flödenas enheter är förenliga.

Enodas sammanfattning

Högre ordningens differentialekvationer

Karakteristisk ekvation

ay''+by'+cy=0\quad\Longleftrightarrow\quad ar^2+br+c=0

Vad gör formeln?: Översätter en linjär homogen ODE till ett algebraiskt polynom.
När får den användas?: Ekvationen är homogen med konstanta koefficienter och a är inte noll.

Enodas sammanfattning

Homogen lösning för rotfallen

r_1\ne r_2:\ y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t};\quad r\text{ dubbel}:\ y_h=(C_1+C_2t)e^{rt}

Vad gör formeln?: Bygger den homogena lösningen från reella rötter och deras multiplicitet.
När får den användas?: Rötterna kommer från den karakteristiska ekvationen.

Enodas sammanfattning

Komplexa rötter

r=\alpha\pm i\beta\quad\Longrightarrow\quad y_h=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)

Vad gör formeln?: Ger en reell lösningsbas vid komplexa karakteristiska rötter.
När får den användas?: Koefficienterna är reella och det karakteristiska polynomet har ett komplext konjugatpar.

Enodas sammanfattning

ODE till första ordningens system

y^{(n)}=F(t,y,\ldots,y^{(n-1)}),\quad x=(y,y',\ldots,y^{(n-1)})^T,\quad x'=\begin{pmatrix}x_2\\ \vdots\\ F(t,x)\end{pmatrix}

Vad gör formeln?: Skriver en ODE av ordning n som ett system med n ekvationer av första ordningen.
När får den användas?: Den högsta derivatan kan lösas ut.

Enodas sammanfattning

Linjära system och variation av parametrar

Egenvärdesmetoden för linjära system

x'=Ax,\quad Av_k=\lambda_kv_k\quad\Longrightarrow\quad x(t)=\sum_k c_ke^{\lambda_kt}v_k

Vad gör formeln?: Bygger lösningen av systemet från matrisens egenpar.
När får den användas?: A har en bas av egenvektorer; annars krävs generaliserade egenvektorer.

Enodas sammanfattning

Fundamentalmatris

\Phi'(t)=A(t)\Phi(t),\quad \det\Phi(t)\ne0,\quad x_h(t)=\Phi(t)c

Vad gör formeln?: Samlar en lösningsbas till ett linjärt homogent system.
När får den användas?: Kolonnerna i Φ är linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet.

Enodas sammanfattning

Variation av parametrar för system

x'=A(t)x+g(t),\quad x(t)=\Phi(t)\left(c+\int_{t_0}^{t}\Phi(s)^{-1}g(s)\,ds\right)

Vad gör formeln?: Ger homogen och partikulär lösning till ett inhomogent linjärt system.
När får den användas?: Φ är en fundamentalmatris på intervallet och g är kontinuerlig.

Enodas sammanfattning

Matrisexponential

e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(At)^k}{k!},\quad x'=Ax,\ x(t_0)=x_0\Rightarrow x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0

Vad gör formeln?: Uttrycker lösningsoperatorn för ett konstant linjärt system.
När får den användas?: A är en konstant kvadratisk matris.

Enodas sammanfattning

Autonoma system, fasplan och stabilitet

Kritisk punkt

x'=f(x),\quad x_*\text{ är kritisk}\Longleftrightarrow f(x_*)=0

Vad gör formeln?: Identifierar konstanta lösningar och utgångspunkter för stabilitetsanalys.
När får den användas?: Systemet är autonomt.

Enodas sammanfattning

Linjärisering med Jacobian

x'=f(x),\quad u=x-x_*,\quad u'=J_f(x_*)u+O(\lVert u\rVert^2)

Vad gör formeln?: Approximerar ett ickelinjärt system med ett linjärt system nära en jämvikt.
När får den användas?: f är kontinuerligt deriverbar nära den kritiska punkten.

Enodas sammanfattning

Spår–determinant-klassificering

\tau=\operatorname{tr}A,\quad \Delta=\det A,\quad \lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0

Vad gör formeln?: Klassificerar jämviktens typ med spår, determinant och diskriminant.
När får den användas?: Gäller ett tvådimensionellt linjärt system eller dess linjärisering.

Enodas sammanfattning

Stabilitet för skalär autonom ODE

y'=f(y),\ f(y_*)=0:\quad f'(y_*)<0\Rightarrow\text{asymptotiskt stabil},\quad f'(y_*)>0\Rightarrow\text{instabil}

Vad gör formeln?: Avgör lokal stabilitet från tecknet på derivatan vid en enkel jämvikt.
När får den användas?: f är deriverbar nära y* och f'(y*) är skild från noll.

Enodas sammanfattning

Existens, entydighet och kvalitativ teori

Existens från kontinuitet

y'=f(t,y),\quad y(t_0)=y_0,\quad f\in C(R)\Rightarrow\text{minst en lokal lösning}

Vad gör formeln?: Kontinuitet hos högerledet räcker för lokal existens men inte alltid entydighet.
När får den användas?: f är kontinuerlig i en rektangel R kring (t₀,y₀).

Enodas sammanfattning

Lipschitzvillkor

|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|

Vad gör formeln?: Ett Lipschitzvillkor i y ger entydighet för initialvärdesproblemet.
När får den användas?: Samma konstant L gäller i det aktuella området.

Enodas sammanfattning

Derivatavillkor för entydighet

f,\ \frac{\partial f}{\partial y}\in C(R)\quad\Longrightarrow\quad f\text{ är lokalt Lipschitz i }y

Vad gör formeln?: Ett praktiskt tillräckligt villkor för lokal existens och entydighet.
När får den användas?: Den partiella derivatan är kontinuerlig i en rektangel kring initialpunkten.

Enodas sammanfattning

Grönwalls olikhet

u(t)\le a+\int_{t_0}^{t}b(s)u(s)\,ds\quad\Longrightarrow\quad u(t)\le a\exp\!\left(\int_{t_0}^{t}b(s)\,ds\right)

Vad gör formeln?: Kontrollerar lösningsskillnader och används för entydighet och feluppskattning.
När får den användas?: u och b är icke-negativa och kontinuerliga samt a är icke-negativ.

Enodas sammanfattning

Numeriska initialvärdesmetoder

Framåt Euler

y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n)

Vad gör formeln?: Explicit enstegsmetod av ordning ett.
När får den användas?: Steglängden h är vald så att metodens fel och stabilitet är acceptabla.

Enodas sammanfattning

Bakåt Euler

y_{n+1}=y_n+h f(t_{n+1},y_{n+1})

Vad gör formeln?: Implicit A-stabil enstegsmetod av ordning ett.
När får den användas?: Den implicita ekvationen för yₙ₊₁ kan lösas vid varje steg.

Enodas sammanfattning

Explicit mittpunktsmetod

k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f\!\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2k_1\right),\quad y_{n+1}=y_n+hk_2

Vad gör formeln?: Tvåstegs Runge–Kutta-metod av ordning två.
När får den användas?: f kan evalueras explicit i de två stegen.

Enodas sammanfattning

Absolutstabilitet

y'=\lambda y,\quad y_{n+1}=R(h\lambda)y_n,\quad |R(h\lambda)|<1

Vad gör formeln?: Avgör vilka kombinationer av steglängd och egenvärde som dämpas numeriskt.
När får den användas?: Stabilitetsanalysen görs på testekvationen med Re(λ)<0.

Enodas sammanfattning

Randvärdesproblem och finita differenser

Central differens för första derivatan

u'(x_i)\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}=u'(x_i)+O(h^2)

Vad gör formeln?: Approximerar första derivatan med andra ordningens noggrannhet.
När får den användas?: u är tillräckligt glatt och nätet är likformigt nära xᵢ.

Enodas sammanfattning

Central differens för andra derivatan

u''(x_i)\approx\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2}=u''(x_i)+O(h^2)

Vad gör formeln?: Ger den tridiagonala kärnan i många diskretiserade randvärdesproblem.
När får den användas?: u har minst fyra kontinuerliga derivator lokalt och nätet är likformigt.

Enodas sammanfattning

Framåt- och bakåtdifferens

u'(x_i)\approx\frac{u_{i+1}-u_i}{h}=u'(x_i)+O(h),\quad u'(x_i)\approx\frac{u_i-u_{i-1}}{h}=u'(x_i)+O(h)

Vad gör formeln?: Ensidiga första ordningens approximationer, särskilt användbara vid randen.
När får den användas?: u är minst två gånger kontinuerligt deriverbar lokalt.

Enodas sammanfattning

Diskretisering av linjärt randvärdesproblem

-u''+p(x)u'+q(x)u=r(x)\quad\Longrightarrow\quad A\mathbf{u}=\mathbf{b}

Vad gör formeln?: Samlar finita differenser och randvillkor i ett linjärt system.
När får den användas?: Randvillkoren införs konsekvent och nätet täcker hela intervallet.

Enodas sammanfattning

Ortogonalitet, Fourier och egenvärdesproblem

Inre produkt för funktioner

\langle f,g\rangle_w=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}w(x)\,dx,\quad \|f\|_w=\sqrt{\langle f,f\rangle_w}

Vad gör formeln?: Definierar ortogonalitet, norm och projektion i funktionsrum.
När får den användas?: Integralen existerar och viktfunktionen w är positiv nästan överallt.

Enodas sammanfattning

Fourierserie på [-L,L]

f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)

Vad gör formeln?: Representerar en funktion med ortogonala sinus- och cosinusmoder.
När får den användas?: f är styckvis glatt; vid hopp konvergerar serien mot medelvärdet av sidogränserna.

Enodas sammanfattning

Fourierkoefficienter

a_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\quad b_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx

Vad gör formeln?: Projicerar funktionen på Fourierbasens cosinus- och sinusfunktioner.
När får den användas?: f är integrerbar på [-L,L]. För a₀ används cos(0)=1.

Enodas sammanfattning

Fouriertransform

\widehat f(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx,\quad f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat f(k)e^{ikx}\,dk

Vad gör formeln?: Transformparet översätter en funktion mellan x-domänen och frekvensdomänen och fixerar alla tecken och normaliseringsfaktorer.
När får den användas?: Standardkonventionen i SF1523 är negativ exponent i framåttransformen och faktorn 1/(2π) i inversen. För exempelvis f i Schwartzklassen gäller båda integralerna direkt; svagare villkor behandlas separat.

Enodas sammanfattning

Fouriertransformens linjäritet

\mathcal F\{af+bg\}(\alpha)=aF(\alpha)+bG(\alpha)

Vad gör formeln?: Summor och konstanta faktorer kan transformeras term för term.
När får den användas?: f och g är transformerbara i samma mening och a,b är konstanter.

Enodas sammanfattning

Transform av derivator

\mathcal F\{f^{(n)}\}(\alpha)=(i\alpha)^nF(\alpha)

Vad gör formeln?: Derivering i x-domänen blir multiplikation med en potens av iα.
När får den användas?: f och dess derivator avtar så att randtermerna vid partiell integration försvinner. Formeln använder framåttransformen med e^{-iαx}.

Enodas sammanfattning

Multiplikation med x

\mathcal F\{x f(x)\}(\alpha)=iF'(\alpha)

Vad gör formeln?: Multiplikation med lägesvariabeln motsvarar frekvensderivering.
När får den användas?: xf(x) är transformerbar och F kan deriveras under integraltecknet.

Enodas sammanfattning

Translation i x-domänen

\mathcal F\{f(x-c)\}(\alpha)=e^{-i\alpha c}F(\alpha)

Vad gör formeln?: En förskjutning av funktionen ändrar fasen men inte transformens belopp.
När får den användas?: f är transformerbar och c är en reell konstant.

Enodas sammanfattning

Modulation

\mathcal F\{e^{icx}f(x)\}(\alpha)=F(\alpha-c)

Vad gör formeln?: Multiplikation med en komplex exponential förskjuter frekvensinnehållet.
När får den användas?: f är transformerbar och c är en reell konstant.

Enodas sammanfattning

Skalning

\mathcal F\{f(cx)\}(\alpha)=\frac1{|c|}F\!\left(\frac{\alpha}{c}\right),\quad c\ne0

Vad gör formeln?: Komprimering i x-domänen breddar transformen och ger faktorn 1/|c|.
När får den användas?: f är transformerbar och c är en reell konstant skild från noll.

Enodas sammanfattning

Faltning

(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)\,dy,\quad \mathcal F\{f*g\}=FG

Vad gör formeln?: Faltning i x-domänen blir vanlig multiplikation i frekvensdomänen.
När får den användas?: Exempelvis f,g i L¹ räcker för att faltningen och transformen ska vara väldefinierade.

Enodas sammanfattning

Gaussfunktionens Fouriertransform

\mathcal F\{e^{-x^2/2}\}(\alpha)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\alpha^2/2}

Vad gör formeln?: Gaussfunktionen är, bortsett från skalning och konstantfaktor, invariant under Fouriertransformen.
När får den användas?: Transformparet använder SF1523-konventionen med e^{-iαx}; skalade Gaussfunktioner fås med skalningsregeln.

Enodas sammanfattning

Partiella differentialekvationer

Värmeledningsekvationen

u_t=\kappa u_{xx},\quad \kappa>0

Vad gör formeln?: Modellerar diffusion och värmeledning.
När får den användas?: En dimension, homogen isotrop ledning och konstant diffusivitet κ.

Enodas sammanfattning

Vågekvationen

u_{tt}=c^2u_{xx},\quad c>0

Vad gör formeln?: Modellerar fortplantande svängningar och vågor.
När får den användas?: En idealiserad endimensionell våg med konstant våghastighet c.

Enodas sammanfattning

Laplaces ekvation

\Delta u=0,\quad \Delta u=u_{xx}+u_{yy}\ (\text{i två dimensioner})

Vad gör formeln?: Beskriver stationära potential- och temperaturfält.
När får den användas?: Området saknar källterm; randvillkoren bestämmer lösningen.

Enodas sammanfattning

Separation av variabler för PDE