Partiella differentialekvationer

De tre grundtyperna är $u_t=\kappa u_{xx},\qquad u_{tt}=c^2u_{xx},\qquad \Delta u=0$. Ekvationens tidsderivator och randvillkor avgör vilken fysik och lösningsmetod som är relevant.

Identifiera PDE-typ och randvillkor, separera variablerna och använd egenfunktionernas ortogonalitet för att bestämma koefficienterna.

För värmeekvationen på 0<x<L med homogena Dirichletvillkor ger separation $u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_ne^{-\kappa(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L}$. Begynnelsefunktionen projiceras på sinusbasen för att bestämma bₙ.

När x sträcker sig över hela reella axeln kan Fouriertransformen ersätta randvärdesproblemet med en ODE i tiden. För uₜ = uₓₓ fås Uₜ = −α²U och därmed U(α,t) = e⁻ᵅ²ᵗU(α,0). Invertering ger lösningen, ofta som en faltning med värmekärnan.

$$U_t(\alpha,t)+\alpha^2U(\alpha,t)=0$$

Homogenisera först icke-homogena randvillkor när separation ska användas. Kontrollera därefter PDE, samtliga randvillkor och initialvillkoret separat. Värmemoder avtar exponentiellt, medan vågekvationens moder oscillerar; ett svar med fel tidsbeteende avslöjar ofta ett teckenfel i separationskonstanten.