1. Grundläggande differentialekvationer och modellering

Grundläggande differentialekvationer

Första ordningens separabla och linjära differentialekvationer, begynnelsevärden och grundläggande modeller.

Översikt

$y'=g(t)h(y)\quad\text{eller}\quad y'+p(t)y=q(t)$

Börja med att avgöra vilken struktur ekvationen har; samma ekvation kan ibland behandlas på flera sätt.

Exempel

Arbetsgång

Klassificera först ekvationen. Kontrollera konstanta lösningar innan du dividerar och använd begynnelsevärdet först efter att den allmänna lösningen är bestämd.

För $y'=y,\qquad y(0)=2$ separeras variablerna till $\frac{dy}{y}=dt\Rightarrow \ln|y|=t+C$ . Den konstanta lösningen y=0 måste tas med innan division med y. Begynnelsevillkoret ger C=2 och alltså y = 2eᵗ.

Exempel

Exempel: integrerande faktor

För en linjär ekvation väljs en integrerande faktor som gör vänsterledet till derivatan av en produkt.

För $y'+2y=e^t$ är den integrerande faktorn $\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}$ . Multiplikation ger (e²ᵗy)′ = e³ᵗ, så integration och förenkling ger $y(t)=\frac13e^t+Ce^{-2t}$ .

Fördjupning

Modeller, giltighetsintervall och vanliga fel

Översätt först en textmodell till en dimensionsriktig balanslag. Kontrollera jämviktslösningar, maximal existensintervall och om svaret respekterar modellens tecken- och storlekskrav. Vanliga fel är att dividera bort en konstant lösning, glömma absolutbeloppet i ln|y| eller sätta in begynnelsevärdet innan den allmänna lösningen är korrekt.

Begynnelsevärdet plockar ut en kurva ur familjen

Riktningsfältet för y′ = y visar alla lösningar samtidigt. Dra startpunkten och se hur ett enda begynnelsevärde väljer ut en av dem.

Laddar figur…

Formler i området

Separabel differentialekvation

y'=g(t)h(y)\quad\Longrightarrow\quad \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(t)\,dt+C

Vad gör formeln?: Separerar variablerna och integrerar vardera sidan.
När får den användas?: På intervall där h(y) inte är noll. Konstanta lösningar h(y)=0 måste kontrolleras separat.

Linjär ODE med integrerande faktor

y'+p(t)y=q(t),\quad \mu(t)=e^{\int p(t)dt},\quad y=\mu^{-1}\left(C+\int \mu q\,dt\right)

Vad gör formeln?: Ger den allmänna lösningen till en linjär ODE av första ordningen.
När får den användas?: p och q är kontinuerliga på det studerade intervallet.

Exponentiell tillväxt och avklingning

y'=ky,\quad y(t)=y_0e^{k(t-t_0)}

Vad gör formeln?: Standardmodellen för konstant relativ tillväxt eller avklingning.
När får den användas?: Tillväxthastigheten är proportionell mot den aktuella mängden.

Blandningstank

M'(t)=q_{in}c_{in}(t)-q_{ut}\frac{M(t)}{V(t)},\quad V'(t)=q_{in}-q_{ut}

Vad gör formeln?: Balanserar inflöde och utflöde för mängden löst ämne.
När får den användas?: Tanken är fullständigt omblandad och flödenas enheter är förenliga.

Hänger ihop med

Förkunskap

Högre ordningens differentialekvationerLinjär teori, karakteristiska ekvationer, partikulärlösningar och omskrivning till första ordningens system.

Kan du använda grundläggande differentialekvationer?

Lös en riktig tentauppgift från SF1523 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift