4. Autonoma system, fasplan och stabilitet

Autonoma system och stabilitet

Kritiska punkter, faslinjer, linjärisering och egenvärdesklassificering i fasplanet.

Översikt

$\mathbf x'=\mathbf f(\mathbf x)$

En kritisk punkt x* uppfyller f(x*)=0. Stabilitet beskriver vad som händer med lösningar som startar nära punkten, inte bara punktens typ.

Exempel

Arbetsgång

Bestäm alla kritiska punkter. Använd teckenstudium i en dimension och Jacobians egenvärden i flera dimensioner.

För $y'=y(y^2-1),\qquad f'(y)=3y^2-1$ är jämvikterna -1, 0 och 1. Tecknet på f'(y*) ger att ±1 är instabila och 0 asymptotiskt stabil. Samma slutsats kan läsas av från faslinjens pilar.

Exempel

Exempel: klassificera en sadelpunkt

Egenvärden med olika tecken ger en sadelpunkt och därmed instabilitet.

Systemet $x'=2x,\qquad y'=-y$ har jämvikten (0,0). Jacobianen är diagonal med egenvärden 2 och -1, så lösningar växer längs x-axeln och avtar längs y-axeln. Origo är därför en instabil sadel.

Fördjupning

Linjäriseringens räckvidd

I två dimensioner klassificeras en hyperbolisk jämvikt med egenvärdena till Jacobianen. Negativa realdelar ger asymptotisk stabilitet, en positiv realdel ger instabilitet och olika tecken ger en sadel. Om någon realdel är noll är linjäriseringen i allmänhet inte avgörande; då behövs ett ickelinjärt argument.

Egenvärden med olika tecken ger en sadel

Systemet x′ = 2x, y′ = −y. Banorna dras in längs den ena egenriktningen och ut längs den andra — därför är origo instabilt trots att ena riktningen är attraherande.

Laddar figur…

Formler i området

Kritisk punkt

x'=f(x),\quad x_*\text{ är kritisk}\Longleftrightarrow f(x_*)=0

Vad gör formeln?: Identifierar konstanta lösningar och utgångspunkter för stabilitetsanalys.
När får den användas?: Systemet är autonomt.

Linjärisering med Jacobian

x'=f(x),\quad u=x-x_*,\quad u'=J_f(x_*)u+O(\lVert u\rVert^2)

Vad gör formeln?: Approximerar ett ickelinjärt system med ett linjärt system nära en jämvikt.
När får den användas?: f är kontinuerligt deriverbar nära den kritiska punkten.

Spår–determinant-klassificering

\tau=\operatorname{tr}A,\quad \Delta=\det A,\quad \lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0

Vad gör formeln?: Klassificerar jämviktens typ med spår, determinant och diskriminant.
När får den användas?: Gäller ett tvådimensionellt linjärt system eller dess linjärisering.

Stabilitet för skalär autonom ODE

y'=f(y),\ f(y_*)=0:\quad f'(y_*)<0\Rightarrow\text{asymptotiskt stabil},\quad f'(y_*)>0\Rightarrow\text{instabil}

Vad gör formeln?: Avgör lokal stabilitet från tecknet på derivatan vid en enkel jämvikt.
När får den användas?: f är deriverbar nära y* och f'(y*) är skild från noll.

Kan du använda autonoma system och stabilitet?

Lös en riktig tentauppgift från SF1523 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift