3. Linjära system och variation av parametrar

Linjära system

Egenvärdesmetoden, fundamentalmatriser och variation av parametrar för linjära differentialekvationssystem.

Översikt

$\mathbf x'=A(t)\mathbf x+\mathbf g(t)$

För konstant A styr egenvärdena både lösningarnas form och deras långtidsegenskaper. En fundamentalmatris är inverterbar på hela intervallet.

Exempel

Arbetsgång

Bestäm egenvärden och egenvektorer, bygg en fundamentalmatris och kontrollera lösningen genom insättning i systemet.

För $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}$ är egenparen (1,(1,0)ᵀ) och (-2,(0,1)ᵀ). Lösningen blir därför $\mathbf x(t)=c_1e^t\binom10+c_2e^{-2t}\binom01$ . Begynnelsevärdet bestämmer c₁ och c₂ komponentvis.

Exempel

Exempel: konstant inhomogent led

En konstant partikulärlösning kan provas när systemets högerled är konstant och matrisen är inverterbar.

För $\mathbf x'=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-2\end{pmatrix}\mathbf x+\binom12$ söks en konstant vektor xₚ. Villkoret 0=Axₚ+b ger $\mathbf x_p=\binom11$ , varefter den homogena lösningen adderas.

Fördjupning

Defekta matriser och inhomogena system

Om A saknar en bas av egenvektorer behövs generaliserade egenvektorer eller direkt beräkning av matrisexponentialen. För ett inhomogent system används variation av parametrar med Φ⁻¹g. Kontrollera alltid lösningen genom att derivera den och sätta in i hela systemet, inte endast i det homogena ledet.

Partikulärlösningen är fältets jämvikt

Med konstant högerled är den konstanta partikulärlösningen xₚ = (1, 1) den punkt fältet står stilla i. Dra startpunkten: den homogena delen är avståndet dit, och det dör ut.

Laddar figur…

Formler i området

Egenvärdesmetoden för linjära system

x'=Ax,\quad Av_k=\lambda_kv_k\quad\Longrightarrow\quad x(t)=\sum_k c_ke^{\lambda_kt}v_k

Vad gör formeln?: Bygger lösningen av systemet från matrisens egenpar.
När får den användas?: A har en bas av egenvektorer; annars krävs generaliserade egenvektorer.

Fundamentalmatris

\Phi'(t)=A(t)\Phi(t),\quad \det\Phi(t)\ne0,\quad x_h(t)=\Phi(t)c

Vad gör formeln?: Samlar en lösningsbas till ett linjärt homogent system.
När får den användas?: Kolonnerna i Φ är linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet.

Variation av parametrar för system

x'=A(t)x+g(t),\quad x(t)=\Phi(t)\left(c+\int_{t_0}^{t}\Phi(s)^{-1}g(s)\,ds\right)

Vad gör formeln?: Ger homogen och partikulär lösning till ett inhomogent linjärt system.
När får den användas?: Φ är en fundamentalmatris på intervallet och g är kontinuerlig.

Matrisexponential

e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(At)^k}{k!},\quad x'=Ax,\ x(t_0)=x_0\Rightarrow x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0

Vad gör formeln?: Uttrycker lösningsoperatorn för ett konstant linjärt system.
När får den användas?: A är en konstant kvadratisk matris.

Hänger ihop med

Används ofta tillsammans med

Autonoma system och stabilitetKritiska punkter, faslinjer, linjärisering och egenvärdesklassificering i fasplanet.

Kan du använda linjära system?

Lös en riktig tentauppgift från SF1523 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift