6. Numeriska initialvärdesmetoder

Numeriska initialvärdesmetoder

Euler- och Runge–Kutta-metoder, noggrannhetsordning och absolutstabilitet.

Översikt

En enstegsmetod approximerar $y'=f(t,y),\qquad y(t_0)=y_0$ med värden yₙ vid tₙ. Lokal trunkeringsordning, global felordning och absolutstabilitet är skilda egenskaper.

Exempel

Arbetsgång

Skriv metoden som en uppdateringsformel, identifiera dess ordning och kontrollera stabilitetsvillkoret innan steglängden väljs.

Framåt Euler på $y'=\lambda y$ ger $y_{n+1}=(1+h\lambda)y_n$ . När λ<0 krävs |1+hλ|<1, alltså 0<h<2/|λ|. Ett litet konsistensfel räcker inte om steglängden ligger utanför stabilitetsområdet.

Exempel

Exempel: bakåt Euler

Bakåt Euler utvärderar högerledet i den nya tidpunkten och kräver därför ett implicit steg.

För $y'=\lambda y$ ger bakåt Euler $y_{n+1}=\frac{y_n}{1-h\lambda}$ . När λ<0 gäller |1/(1-hλ)|<1 för varje h>0, vilket visar metodens stabilitetsfördel för styva problem.

Fördjupning

Ordning, stabilitet och implicita steg

Framåt och bakåt Euler har global ordning ett, medan explicit mittpunkt har ordning två. Bakåt Euler kräver att en implicit ekvation löses i varje steg men är A-stabil och lämpar sig bättre för styva problem. Redovisa alltid nät, steglängd, uppdateringsformel och den fel- eller stabilitetskontroll som motiverar svaret.

Steglängden avgör om Euler följer med

Framåt Euler på y′ = −3y jämfört med den exakta lösningen. Dra startpunkten åt vänster så växer h, och vid h = 2/3 slutar den numeriska lösningen gå mot noll.

Laddar figur…

Formler i området

Framåt Euler

y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n)

Vad gör formeln?: Explicit enstegsmetod av ordning ett.
När får den användas?: Steglängden h är vald så att metodens fel och stabilitet är acceptabla.

Bakåt Euler

y_{n+1}=y_n+h f(t_{n+1},y_{n+1})

Vad gör formeln?: Implicit A-stabil enstegsmetod av ordning ett.
När får den användas?: Den implicita ekvationen för yₙ₊₁ kan lösas vid varje steg.

Explicit mittpunktsmetod

k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f\!\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2k_1\right),\quad y_{n+1}=y_n+hk_2

Vad gör formeln?: Tvåstegs Runge–Kutta-metod av ordning två.
När får den användas?: f kan evalueras explicit i de två stegen.

Absolutstabilitet

y'=\lambda y,\quad y_{n+1}=R(h\lambda)y_n,\quad |R(h\lambda)|<1

Vad gör formeln?: Avgör vilka kombinationer av steglängd och egenvärde som dämpas numeriskt.
När får den användas?: Stabilitetsanalysen görs på testekvationen med Re(λ)<0.

Hänger ihop med

Används ofta tillsammans med

Randvärdesproblem och finita differenserDiskretisering av derivator och randvillkor samt uppbyggnad av linjära ekvationssystem.

Kan du använda numeriska initialvärdesmetoder?

Lös en riktig tentauppgift från SF1523 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift