2. Högre ordningens differentialekvationer

Högre ordningens differentialekvationer

Linjär teori, karakteristiska ekvationer, partikulärlösningar och omskrivning till första ordningens system.

Översikt

$a_ny^{(n)}+\cdots+a_1y'+a_0y=g(t)$

Superpositionsprincipen ger y = yₕ + yₚ. För konstanta koefficienter bestäms yₕ från det karakteristiska polynomet.

Exempel

Arbetsgång

Lös det homogena problemet först, välj därefter en partikuläransats och bestäm till sist konstanterna från begynnelsevillkoren.

För $y''-2y'+y=0$ ger r²-2r+1=(r-1)² en dubbelrot. Därför är $y_h=(C_1+C_2t)e^t$ . Kontroll genom insättning ska göras före bestämning av eventuella begynnelsekonstanter.

Exempel

Exempel: resonans i partikuläransatsen

När den vanliga ansatsen redan ingår i den homogena lösningen multipliceras den med t tills den blir linjärt oberoende.

För $y'-y=e^t$ är yₕ = C₁eᵗ och ansatsen Aeᵗ kolliderar med yₕ. Välj därför $y_p=Ate^t$ ; insättning ger A = 1 och därmed yₚ = teᵗ.

Fördjupning

Partikulärlösning och resonans

Vid obestämda koefficienter väljs ansatsen efter högerledets form. Om ansatsen överlappar den homogena lösningen multipliceras den med lägsta nödvändiga potens av t. Variation av parametrar fungerar mer generellt men kräver en fundamental lösningsbas. En n:te ordningens ekvation kan alltid skrivas som ett system av första ordningen när högsta derivatan kan lösas ut.

Dubbelroten ger bara en egenriktning

y″ − 2y′ + y = 0 ritad i planet (y, y′). De två streckade linjerna faller ihop till en enda riktning, vilket är precis varför lösningen behöver den extra termen teᵗ.

Laddar figur…

Formler i området

Karakteristisk ekvation

ay''+by'+cy=0\quad\Longleftrightarrow\quad ar^2+br+c=0

Vad gör formeln?: Översätter en linjär homogen ODE till ett algebraiskt polynom.
När får den användas?: Ekvationen är homogen med konstanta koefficienter och a är inte noll.

Homogen lösning för rotfallen

r_1\ne r_2:\ y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t};\quad r\text{ dubbel}:\ y_h=(C_1+C_2t)e^{rt}

Vad gör formeln?: Bygger den homogena lösningen från reella rötter och deras multiplicitet.
När får den användas?: Rötterna kommer från den karakteristiska ekvationen.

Komplexa rötter

r=\alpha\pm i\beta\quad\Longrightarrow\quad y_h=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)

Vad gör formeln?: Ger en reell lösningsbas vid komplexa karakteristiska rötter.
När får den användas?: Koefficienterna är reella och det karakteristiska polynomet har ett komplext konjugatpar.

ODE till första ordningens system

y^{(n)}=F(t,y,\ldots,y^{(n-1)}),\quad x=(y,y',\ldots,y^{(n-1)})^T,\quad x'=\begin{pmatrix}x_2\\ \vdots\\ F(t,x)\end{pmatrix}

Vad gör formeln?: Skriver en ODE av ordning n som ett system med n ekvationer av första ordningen.
När får den användas?: Den högsta derivatan kan lösas ut.

Hänger ihop med

Förkunskap

Linjära systemEgenvärdesmetoden, fundamentalmatriser och variation av parametrar för linjära differentialekvationssystem.

Kan du använda högre ordningens differentialekvationer?

Lös en riktig tentauppgift från SF1523 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift