8. Ortogonalitet, Fourier och egenvärdesproblem

Ortogonalitet och Fourieranalys

Inre produkter, ortogonala projektioner, Fourierserier och Fouriertransform.

Översikt

Ortogonalitet gör koefficientbestämning till projektion. På hela reella axeln används transformparet $F(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\alpha x}\,dx,\qquad f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\alpha)e^{i\alpha x}\,d\alpha$ .

Exempel

Arbetsgång

Utnyttja ortogonalitet och paritet före integration. Kontrollera alltid vilken normalisering och Fourierkonvention som används.

Med standardkonventionen följer genom partiell integration att $\mathcal F\{f^{(n)}\}(\alpha)=(i\alpha)^nF(\alpha)$ . Därför blir x-derivator i en PDE algebraiska faktorer. Om uppgiften i stället definierar framåttransformen med e⁺ⁱᵚˣ byts faktorn till (-iω)ⁿ.

Exempel

Räkneregler från formelbladet

Linjäritet används först. Translation f(x-c) ger fasfaktorn e⁻ⁱᵅᶜ, modulation eⁱᶜˣf(x) ger F(α-c), och xf(x) ger iF'(α). Skalning och Gaussfunktionens transform är särskilt viktiga vid värmeledning på hela reella axeln.

$xf(x)\leftrightarrow iF'(\alpha),\quad f(x-c)\leftrightarrow e^{-i\alpha c}F(\alpha),\quad e^{icx}f(x)\leftrightarrow F(\alpha-c)$

Fördjupning

Fourierserier, konvergens och Sturm–Liouville

På ett ändligt intervall bestäms Fourierkoefficienterna med ortogonalitet och paritet. Vid en hoppdiskontinuitet konvergerar serien till medelvärdet av sidogränserna. Randvärdesproblem av Sturm–Liouville-typ ger ortogonala egenfunktioner och förklarar varför sinus- och cosinusmoder uppträder vid separation av variabler.

I hoppet konvergerar serien mot medelvärdet

En fyrkantvåg och dess partialsumma. Dra punkten till hoppet: serien går mot medelvärdet av sidogränserna, och översvängen intill hoppet krymper inte när fler termer läggs till.

Laddar figur…

Formler i området

Inre produkt för funktioner

\langle f,g\rangle_w=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}w(x)\,dx,\quad \|f\|_w=\sqrt{\langle f,f\rangle_w}

Vad gör formeln?: Definierar ortogonalitet, norm och projektion i funktionsrum.
När får den användas?: Integralen existerar och viktfunktionen w är positiv nästan överallt.

Fourierserie på [-L,L]

f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)

Vad gör formeln?: Representerar en funktion med ortogonala sinus- och cosinusmoder.
När får den användas?: f är styckvis glatt; vid hopp konvergerar serien mot medelvärdet av sidogränserna.

Fourierkoefficienter

a_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\quad b_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx

Vad gör formeln?: Projicerar funktionen på Fourierbasens cosinus- och sinusfunktioner.
När får den användas?: f är integrerbar på [-L,L]. För a₀ används cos(0)=1.

Fouriertransform

\widehat f(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx,\quad f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat f(k)e^{ikx}\,dk

Vad gör formeln?: Transformparet översätter en funktion mellan x-domänen och frekvensdomänen och fixerar alla tecken och normaliseringsfaktorer.
När får den användas?: Standardkonventionen i SF1523 är negativ exponent i framåttransformen och faktorn 1/(2π) i inversen. För exempelvis f i Schwartzklassen gäller båda integralerna direkt; svagare villkor behandlas separat.

Fouriertransformens linjäritet

\mathcal F\{af+bg\}(\alpha)=aF(\alpha)+bG(\alpha)

Vad gör formeln?: Summor och konstanta faktorer kan transformeras term för term.
När får den användas?: f och g är transformerbara i samma mening och a,b är konstanter.

Transform av derivator

\mathcal F\{f^{(n)}\}(\alpha)=(i\alpha)^nF(\alpha)

Vad gör formeln?: Derivering i x-domänen blir multiplikation med en potens av iα.
När får den användas?: f och dess derivator avtar så att randtermerna vid partiell integration försvinner. Formeln använder framåttransformen med e^{-iαx}.

Multiplikation med x

\mathcal F\{x f(x)\}(\alpha)=iF'(\alpha)

Vad gör formeln?: Multiplikation med lägesvariabeln motsvarar frekvensderivering.
När får den användas?: xf(x) är transformerbar och F kan deriveras under integraltecknet.

Translation i x-domänen

\mathcal F\{f(x-c)\}(\alpha)=e^{-i\alpha c}F(\alpha)

Vad gör formeln?: En förskjutning av funktionen ändrar fasen men inte transformens belopp.
När får den användas?: f är transformerbar och c är en reell konstant.

Modulation

\mathcal F\{e^{icx}f(x)\}(\alpha)=F(\alpha-c)

Vad gör formeln?: Multiplikation med en komplex exponential förskjuter frekvensinnehållet.
När får den användas?: f är transformerbar och c är en reell konstant.

Skalning

\mathcal F\{f(cx)\}(\alpha)=\frac1{|c|}F\!\left(\frac{\alpha}{c}\right),\quad c\ne0

Vad gör formeln?: Komprimering i x-domänen breddar transformen och ger faktorn 1/|c|.
När får den användas?: f är transformerbar och c är en reell konstant skild från noll.

Faltning

(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)\,dy,\quad \mathcal F\{f*g\}=FG

Vad gör formeln?: Faltning i x-domänen blir vanlig multiplikation i frekvensdomänen.
När får den användas?: Exempelvis f,g i L¹ räcker för att faltningen och transformen ska vara väldefinierade.

Gaussfunktionens Fouriertransform

\mathcal F\{e^{-x^2/2}\}(\alpha)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\alpha^2/2}

Vad gör formeln?: Gaussfunktionen är, bortsett från skalning och konstantfaktor, invariant under Fouriertransformen.
När får den användas?: Transformparet använder SF1523-konventionen med e^{-iαx}; skalade Gaussfunktioner fås med skalningsregeln.

Hänger ihop med

Förkunskap

Partiella differentialekvationerStandardekvationerna för värme, vågor och potential samt separation av variabler.

Kan du använda ortogonalitet och fourieranalys?

Lös en riktig tentauppgift från SF1523 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift