5. Existens, entydighet och kvalitativ teori

Existens och entydighet

Villkor som garanterar lokala lösningar och entydighet för initialvärdesproblem.

Översikt

För initialvärdesproblemet $y'=f(t,y),\qquad y(t_0)=y_0$ ger kontinuitet hos f lokal existens. Lokal Lipschitzkontinuitet i y ger dessutom entydighet.

Exempel

Arbetsgång

Skilj noga mellan existens och entydighet. Kontrollera villkoren lokalt kring den givna initialpunkten.

I $y'=3|y|^{2/3},\qquad y(0)=0$ är f kontinuerlig men inte Lipschitz i y nära 0. Både nollösningen och lösningar som lämnar noll efter en väntetid uppfyller problemet; existens innebär alltså inte automatiskt entydighet.

Exempel

Exempel: verifiera lokal entydighet

En kontinuerlig och lokalt begränsad y-derivata ger ett praktiskt Lipschitzvillkor.

För $y'=t+y^2,\qquad y(t_0)=y_0$ är $\frac{\partial f}{\partial y}=2y$ kontinuerlig i varje begränsad rektangel. Picard–Lindelöfs sats ger därför en entydig lokal lösning genom varje initialpunkt.

Fördjupning

Lokala satser och fortsatt existens

Villkoren kontrolleras i ett område kring initialpunkten och slutsatsen är lokal. En begränsad partiell derivata ∂f/∂y ger ett praktiskt Lipschitzvillkor. Grönwalls olikhet används för att visa att två lösningar med samma initialdata måste sammanfalla och för att uppskatta hur störningar växer.

Existens utan entydighet

Högerledet i y′ = 3|y|^(2/3) är kontinuerligt men inte Lipschitz i y = 0, och där är fältet vågrätt hela vägen. Nollösningen kan därför bli stående godtyckligt länge innan den lyfter — dra startpunkten och jämför.

Laddar figur…

Formler i området

Existens från kontinuitet

y'=f(t,y),\quad y(t_0)=y_0,\quad f\in C(R)\Rightarrow\text{minst en lokal lösning}

Vad gör formeln?: Kontinuitet hos högerledet räcker för lokal existens men inte alltid entydighet.
När får den användas?: f är kontinuerlig i en rektangel R kring (t₀,y₀).

Lipschitzvillkor

|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|

Vad gör formeln?: Ett Lipschitzvillkor i y ger entydighet för initialvärdesproblemet.
När får den användas?: Samma konstant L gäller i det aktuella området.

Derivatavillkor för entydighet

f,\ \frac{\partial f}{\partial y}\in C(R)\quad\Longrightarrow\quad f\text{ är lokalt Lipschitz i }y

Vad gör formeln?: Ett praktiskt tillräckligt villkor för lokal existens och entydighet.
När får den användas?: Den partiella derivatan är kontinuerlig i en rektangel kring initialpunkten.

Grönwalls olikhet

u(t)\le a+\int_{t_0}^{t}b(s)u(s)\,ds\quad\Longrightarrow\quad u(t)\le a\exp\!\left(\int_{t_0}^{t}b(s)\,ds\right)

Vad gör formeln?: Kontrollerar lösningsskillnader och används för entydighet och feluppskattning.
När får den användas?: u och b är icke-negativa och kontinuerliga samt a är icke-negativ.

Hänger ihop med

Fördjupa

Numeriska initialvärdesmetoderEuler- och Runge–Kutta-metoder, noggrannhetsordning och absolutstabilitet.

Kan du använda existens och entydighet?

Lös en riktig tentauppgift från SF1523 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift