Formelsamling för Mekanik II

\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_O=\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_R+\boldsymbol\omega\times\mathbf A

Vad gör formeln?: Tidsderivatan i ett fixt system är den relativa derivatan plus basens rotationsbidrag.
När får den användas?: R roterar med vinkelhastigheten omega relativt det fixa inertialsystemet O.

Enodas sammanfattning

Relativ acceleration i roterande system

\mathbf a_P=\mathbf a_O+\dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf r+\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)+2\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{rel}+\mathbf a_{rel}

Vad gör formeln?: Absolut acceleration består av origo-, tangential-, centripetal-, coriolis- och relativacceleration.
När får den användas?: O är origo för det rörliga systemet, r är P:s relativa lägesvektor och alla termer uttrycks i samma bas.

Enodas sammanfattning

Acceleration vid relativ rörelse

\mathbf a = \mathbf a_{\mathrm{sp}} + \mathbf a_{\mathrm{rel}} + \mathbf a_{\mathrm{cor}}

Vad gör formeln?: Den absoluta accelerationen har utöver släp- och relativaccelerationen en corioliskorrektion som saknar motsvarighet i hastighetssambandet.
När får den användas?: Alla tre termerna avser samma punkt och samma tidpunkt, uttryckta i samma bas.

Enodas sammanfattning

Coriolisacceleration

\mathbf a_{\mathrm{cor}} = 2\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{\mathrm{rel}}

Vad gör formeln?: Corioliskorrektionen kommer av att den relativa hastighetens riktning ändras av rotationen.
När får den användas?: Uppträder bara när punkten rör sig relativt ett roterande system.

Enodas sammanfattning

Fiktiva krafter i ett roterande system

\mathbf F_{\mathrm{rel}} = \mathbf F + \mathbf F_{\mathrm{sp}} + \mathbf F_{\mathrm{cor}}

Vad gör formeln?: För att Newtons andra lag ska gälla i ett roterande system måste släp- och corioliskrafter läggas till de verkliga.
När får den användas?: Gäller för en observatör som vilar i det roterande systemet; de fiktiva krafterna saknar reaktionskraft.

Enodas sammanfattning

Hastighet vid relativ rörelse

\mathbf v = \mathbf v_{\mathrm{sp}} + \mathbf v_{\mathrm{rel}}

Vad gör formeln?: Den absoluta hastigheten är summan av släpsystemets hastighet i punkten och hastigheten relativt systemet.
När får den användas?: Släphastigheten är den hastighet punkten skulle ha om den satt fast i det roterande systemet.

Enodas sammanfattning

Släpacceleration

\mathbf a_{\mathrm{sp}} = \mathbf a_O + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}})

Vad gör formeln?: Släpaccelerationen är den acceleration punkten skulle ha om den satt fast i det roterande systemet.
När får den användas?: Punkten O är det roterande systemets origo och lägesvektorn mäts därifrån.

Enodas sammanfattning

Stel kropps kinematik

Hastighet mellan två punkter på en stel kropp

\mathbf v_B=\mathbf v_A+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{AB}

Vad gör formeln?: Skillnaden mellan två punkters hastigheter orsakas enbart av kroppens rotation.
När får den användas?: A och B är materialpunkter på samma stela kropp och r_AB går från A till B.

Enodas sammanfattning

Acceleration mellan två punkter på en stel kropp

\mathbf a_B=\mathbf a_A+\dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf r_{AB}+\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{AB})

Vad gör formeln?: Relativaccelerationen delas i ett tangentiellt och ett centripetalt rotationsbidrag.
När får den användas?: A och B är fasta materialpunkter i samma stela kropp.

Enodas sammanfattning

Accelerationssambandet för en stel kropp

\mathbf a_B = \mathbf a_A + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{AB} - \omega^{2}\mathbf r_{AB}

Vad gör formeln?: Accelerationen mellan två punkter skiljer sig genom en tangentialterm från vinkelaccelerationen och en centripetalterm från rotationen.
När får den användas?: Gäller vid plan rörelse, där vinkelhastigheten står vinkelrätt mot rörelseplanet.

Enodas sammanfattning

Hastighetssambandet för en stel kropp

\mathbf v_B = \mathbf v_A + \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{AB}

Vad gör formeln?: Två punkter på en stel kropp kan bara skilja sig i hastighet genom en rotation kring den ena.
När får den användas?: A och B är två punkter på samma stela kropp och lägesvektorn går från A till B.

Enodas sammanfattning

Momentancentrum

\mathbf v_C = \mathbf 0,\qquad \mathbf r_{AC} = \frac{\mathbf v_A\times\boldsymbol\omega}{\omega^{2}}

Vad gör formeln?: Vid plan rörelse finns en punkt med noll hastighet, och kroppen roterar momentant kring den.
När får den användas?: Plan rörelse med vinkelhastighet skild från noll; punkten kan ligga utanför kroppen.

Enodas sammanfattning

Rullning utan glidning

v_G = \omega R,\qquad a_G = \alpha R

Vad gör formeln?: Rullvillkoret binder masscentrums fart till vinkelhastigheten, vilket gör att en enda obekant räcker.
När får den användas?: Kontakten sker utan glidning, och R är radien från kontaktpunkten till masscentrum.

Enodas sammanfattning

Sammansatt vinkelhastighet

\boldsymbol\omega_{20} = \boldsymbol\omega_{21} + \boldsymbol\omega_{10}

Vad gör formeln?: Vinkelhastigheter adderas som vektorer genom en kedja av system, till skillnad från lägen och hastigheter.
När får den användas?: Kropp 2 rör sig relativt kropp 1, som i sin tur rör sig relativt det fasta systemet 0.

Enodas sammanfattning

Partikelsystem

Masscentrums kraftekvation

\sum\mathbf F_{yttre}=m\mathbf a_G=\dot{\mathbf P}

Vad gör formeln?: Ett partikelsystems masscentrum rör sig som en partikel under de yttre krafternas resultant.
När får den användas?: m är systemets konstanta totalmassa och accelerationen mäts i ett inertialsystem.

Enodas sammanfattning

Momentekvation kring en rörlig punkt

\sum\mathbf M_A=\dot{\mathbf H}_A+\mathbf v_A\times m\mathbf v_G

Vad gör formeln?: En rörlig momentpunkt ger en extra term utöver tidsderivatan av rörelsemängdsmomentet.
När får den användas?: A får röra sig i ett inertialsystem; H_A är systemets rörelsemängdsmoment kring A.

Enodas sammanfattning

Inre krafternas arbete

\delta U = \sum_{i}\left(\mathbf F_i + \mathbf f_i\right)\cdot d\mathbf r_i

Vad gör formeln?: De inre krafterna uträttar arbete i en deformerbar kropp men inte i en stel.
När får den användas?: Avståndet mellan partiklarna är konstant för en stel kropp, och då försvinner de inre krafternas bidrag.

Enodas sammanfattning

Inre krafternas summa

\sum_{i=1}^{n}\mathbf f_i = \mathbf 0

Vad gör formeln?: De inre krafterna tar ut varandra i kraftsumman, men inte nödvändigtvis i arbetet.
När får den användas?: Följer av Newtons tredje lag: de inre krafterna uppträder parvis, lika stora och motriktade.

Enodas sammanfattning

Kraftekvationen för ett partikelsystem

m\mathbf a_G = \sum_{i}\mathbf F_i

Vad gör formeln?: Systemets masscentrum rör sig som om hela massan var samlad där och alla yttre krafter angrep i den punkten.
När får den användas?: Total massa m och masscentrums acceleration; bara yttre krafter ingår.

Enodas sammanfattning

Rörelseekvation för en partikel i ett system

m_i\ddot{\mathbf r}_i = \mathbf F_i + \mathbf f_i

Vad gör formeln?: Varje partikel lyder Newtons andra lag med både yttre krafter och inre krafter från de andra partiklarna.
När får den användas?: Yttre krafter betecknas F och inre krafter från systemets övriga partiklar betecknas f.

Enodas sammanfattning

Systemets rörelsemängd

\mathbf p = \sum_i m_i\mathbf v_i = m\mathbf v_G

Vad gör formeln?: Systemets samlade rörelsemängd är densamma som för en enda partikel med hela massan i masscentrum.
När får den användas?: Summan över alla partiklar; m är systemets totala massa.

Enodas sammanfattning

Tröghet och rörelsemängdsmoment

Tröghetstensorn

\mathbf I_O=\int[(\mathbf r\cdot\mathbf r)\mathbf1-\mathbf r\mathbf r^{T}]\,dm

Vad gör formeln?: Tröghetstensorn samlar kroppens rotationsmotstånd och produkter av tröghet.
När får den användas?: r mäts från O och tensorns komponenter uttrycks i den angivna ortonormala basen.

Enodas sammanfattning

Gyroskopisk term

\dot{\mathbf H}_O = \boldsymbol\omega\times\mathbf H_O

Vad gör formeln?: Ett rörelsemängdsmoment som bara ändrar riktning kräver ett moment vinkelrätt mot både rotationen och momentet.
När får den användas?: Gäller när rörelsemängdsmomentet är konstant sett i det roterande systemet och bara vrider sig med det.

Enodas sammanfattning

Huvudtröghetsaxlar

I_{xy} = I_{xz} = I_{yz} = 0

Vad gör formeln?: I rätt vald bas försvinner tröghetsprodukterna, och rotation kring en sådan axel ger ett rörelsemängdsmoment längs axeln.
När får den användas?: Gäller i den bas där tröghetstensorn är diagonal; symmetriplan ger alltid sådana axlar.

Enodas sammanfattning

Momentlagen kring masscentrum

\dot{\mathbf H}'_G = \mathbf M_G

Vad gör formeln?: Rörelsemängdsmomentets ändringstakt kring masscentrum är lika med de yttre krafternas moment kring samma punkt.
När får den användas?: Gäller kring masscentrum även när masscentrum självt accelererar, vilket inte gäller andra rörliga punkter.

Enodas sammanfattning

Steiners sats

I = I_G + md^{2}

Vad gör formeln?: Tröghetsmomentet kring en axel fås ur tröghetsmomentet kring en parallell axel genom masscentrum.
När får den användas?: Den ena axeln måste gå genom masscentrum, och d är avståndet mellan de parallella axlarna.

Enodas sammanfattning

Tröghetstensorns komponenter

I_{xx} = \int (y^{2}+z^{2})\,dm,\qquad I_{xy} = -\int xy\,dm

Vad gör formeln?: Diagonalelementen är tröghetsmoment kring axlarna och de övriga är tröghetsprodukter som kopplar ihop axlarna.
När får den användas?: Integralerna tas över hela kroppen i det koordinatsystem tensorn ska uttryckas i.

Enodas sammanfattning

Rörelsemängdsmoment för en stel kropp

\mathbf H_O = \mathbf I_O\boldsymbol\omega

Vad gör formeln?: Rörelsemängdsmomentet är tröghetstensorn tillämpad på vinkelhastigheten och pekar i allmänhet åt ett annat håll än rotationen.
När får den användas?: Punkten O är fix eller sammanfaller med masscentrum, och tensorn räknas kring samma punkt.

Enodas sammanfattning

Stel kropps dynamik

Eulers momentekvation i kroppsfasta axlar

\sum\mathbf M_G=\mathbf I_G\dot{\boldsymbol\omega}+\boldsymbol\omega\times(\mathbf I_G\boldsymbol\omega)

Vad gör formeln?: Yttre moment balanserar både vinkelaccelerationen och det gyroskopiska bidraget.
När får den användas?: Axlarna är kroppsfasta med origo i masscentrum och I_G är konstant i dessa axlar.

Enodas sammanfattning

Momentekvation kring en fix huvudaxel

\sum M_O^{(e)}=I_O^{(e)}\,\dot\omega

Vad gör formeln?: Kring den fasta rotationsaxeln får momentekvationen samma form som partikelns kraftekvation.
När får den användas?: Kroppen roterar kring en fix huvudaxel e genom O; övriga reaktionsmoment bestäms separat.

Enodas sammanfattning

Kraftekvationen för en stel kropp

m\mathbf a_G = \sum \mathbf F

Vad gör formeln?: Masscentrums acceleration bestäms av de yttre krafternas summa, oberoende av hur kroppen roterar.
När får den användas?: Massan är konstant och accelerationen avser masscentrum, mätt i ett inertialsystem.

Enodas sammanfattning

Momentekvation kring en godtycklig punkt

\sum \mathbf M_A = I_G\boldsymbol\alpha + \mathbf r_{AG}\times m\mathbf a_G

Vad gör formeln?: Tas momentet kring en annan punkt än masscentrum tillkommer en term med masscentrums acceleration.
När får den användas?: Punkten A är godtycklig; extratermen försvinner bara när A är masscentrum eller när masscentrums acceleration är noll.

Enodas sammanfattning

Momentekvationen kring masscentrum

I_G\boldsymbol\alpha = \sum \mathbf M_G

Vad gör formeln?: Vinkelaccelerationen bestäms av momentsumman kring masscentrum, med tröghetsmomentet kring samma axel.
När får den användas?: Plan rörelse kring en huvudtröghetsaxel genom masscentrum.

Enodas sammanfattning

Rotation kring en fix axel

\sum M_O = I_O\alpha

Vad gör formeln?: Roterar kroppen kring en fast axel räcker en enda momentekvation kring den axeln.
När får den användas?: Axeln genom O är fix i rummet och är en huvudtröghetsaxel för kroppen.

Enodas sammanfattning

Tröghetsmoment för vanliga kroppar

\begin{aligned} \text{stång kring mitten:}\quad I_G &= \tfrac{1}{12}ml^{2} \\ \text{skiva kring axeln:}\quad I_G &= \tfrac{1}{2}mr^{2} \\ \text{klot kring diametern:}\quad I_G &= \tfrac{2}{5}mr^{2} \end{aligned}

Vad gör formeln?: Tabellvärden för de kroppar som återkommer, alla kring en axel genom masscentrum.
När får den användas?: Värdena gäller homogena kroppar och axlar genom masscentrum.

Enodas sammanfattning

Arbete, energi och rullning

Kinetisk energi för en stel kropp

T=\frac12m v_G^2+\frac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf I_G\boldsymbol\omega

Vad gör formeln?: Den stela kroppens energi är summan av masscentrums translation och rotationen kring masscentrum.
När får den användas?: G är masscentrum och I_G samt omega uttrycks i samma bas.

Enodas sammanfattning

Rullvillkor utan glidning

\mathbf v_C=\mathbf0,\qquad v_G=R|\omega|

Vad gör formeln?: Vid ren rullning är kontaktpunktens momentana hastighet noll och translationen kopplas till rotationen.
När får den användas?: C är den momentana kontaktpunkten mot ett stillastående underlag och kontakten glider inte.

Enodas sammanfattning

Arbete av ett kraftpar

U = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M\,d\theta

Vad gör formeln?: Ett kraftpar uträttar arbete genom kroppens vridning, oberoende av hur masscentrum förflyttar sig.
När får den användas?: Momentet och vridningen avser samma axel; är momentet konstant blir arbetet momentet gånger vinkeln.

Enodas sammanfattning

Effekt för en stel kropp

P = \mathbf F\cdot\mathbf v_G + \mathbf M_G\cdot\boldsymbol\omega

Vad gör formeln?: Effekten har ett bidrag från kraften genom masscentrums hastighet och ett från momentet genom vinkelhastigheten.
När får den användas?: Kraften avser masscentrum och momentet räknas kring samma punkt.

Enodas sammanfattning

Energiprincipen för en stel kropp

T_2 - T_1 = U_{1 \to 2}

Vad gör formeln?: Ändringen i kinetisk energi mellan två lägen är lika med de yttre krafternas arbete däremellan.
När får den användas?: Bara yttre krafters arbete räknas; inre krafter i en stel kropp uträttar inget arbete.

Enodas sammanfattning

Kinetisk energi kring momentancentrum

T = \tfrac{1}{2}I_C\omega^{2}

Vad gör formeln?: Läggs momentancentrum till grund samlas hela den kinetiska energin i en enda rotationsterm.
När får den användas?: Kräver att momentancentrum är känt och att tröghetsmomentet räknas kring just den punkten.

Enodas sammanfattning

Friktionskraften vid rullning